Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis
integrando.
11.
11.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se resolva por separação de variáveis e integração.
Aqui . Não há condições iniciais, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
Aqui
Passo 2
Ideia da separação de variáveis (explicação rápida e prática): mover todos os termos que dependem de
para o lado com
e todos os termos que dependem de
para o lado com
, de modo a obter uma forma
, que fica fácil de integrar. Isso é possível quando a equação pode ser escrita como produto de uma função de
por uma função de
.
Começamos reescrevendo a derivada e dividindo por
(note que
, então a divisão é válida):
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar a propriedade integracional que usamos: para qualquer constante
vale
. Aqui temos expoentes
(lado esquerdo) e
(lado direito). Então:
Passo 4
Calculemos as integrais explicitamente:
Igualando (podemos juntar as constantes num único
):
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Organizando a expressão para uma forma mais bonita, multiplicamos por
e renomeamos a constante se quisermos:
com
sendo outra constante arbitrária. Esta é uma forma implícita conveniente; também podemos isolar
explicitamente.
Passo 6
Isolando
(tomando logaritmo natural), obtemos:
Observação sobre domínio: para que
seja real é necessário
, isto é
. Fora disso a expressão gera valores complexos; a forma implícita
também descreve a família de soluções.