Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
11. y^{\prime}=e^{x} e^{y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^{x} e^{y}
e pede que se resolva por separação de variáveis e integração.
Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. Não há condições iniciais, então queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Ideia da separação de variáveis (explicação rápida e prática): mover todos os termos que dependem de y para o lado com dy e todos os termos que dependem de x para o lado com dx, de modo a obter uma forma \,f(y)\,dy = g(x)\,dx, que fica fácil de integrar. Isso é possível quando a equação pode ser escrita como produto de uma função de x por uma função de y.
Começamos reescrevendo a derivada e dividindo por e^{y} (note que e^{y}\neq0, então a divisão é válida):
\frac{dy}{dx} = e^{x} e^{y}
\Rightarrow \frac{1}{e^{y}}\frac{dy}{dx} = e^{x}
\Rightarrow e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Vou mostrar a propriedade integracional que usamos: para qualquer constante a\neq0 vale \int e^{a t}\,dt = \dfrac{1}{a}e^{a t} + \text{constante}. Aqui temos expoentes a=-1 (lado esquerdo) e a=1 (lado direito). Então:
\int e^{-y}\,dy = \int e^{x}\,dx.

Passo 4

Calculemos as integrais explicitamente:
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y} + C_1, \qquad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C_2.
Igualando (podemos juntar as constantes num único C):
- e^{-y} = e^{x} + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 5

Organizando a expressão para uma forma mais bonita, multiplicamos por -1 e renomeamos a constante se quisermos:
e^{-y} = C_1 - e^{x},
com C_1=-C sendo outra constante arbitrária. Esta é uma forma implícita conveniente; também podemos isolar y explicitamente.

Passo 6

Isolando y (tomando logaritmo natural), obtemos:
-\,y = \ln\bigl(C_1 - e^{x}\bigr)
\Rightarrow y(x) = -\ln\bigl(C_1 - e^{x}\bigr).
Observação sobre domínio: para que y(x) seja real é necessário C_1 - e^{x} > 0, isto é e^{x} < C_1. Fora disso a expressão gera valores complexos; a forma implícita e^{-y}+e^{x}=C_1 também descreve a família de soluções.

Resposta

e^{-y} + e^{x} = C\n
y(x) = -\ln\bigl(C - e^{x}\bigr)

Exercícios relacionados