Resolva as EDOs de Bernoulli:
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{3} y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}+2y = x^{3}y^{2}
e pede que se ache a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve x, y e \dfrac{dy}{dx}.
  • Há um fator x multiplicando \dfrac{dy}{dx}; portanto devemos tomar cuidado ao dividir por x: só é válido para x\neq 0.
  • É esperado obter a família de soluções com uma constante arbitrária C. Não esquecer da possível solução trivial y\equiv 0 (que normalmente fica de fora de substituições que envolvem 1/y).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a equação em uma forma mais padrão, isolando \dfrac{dy}{dx}. Divido toda a equação por x (lembrando que isso exige x\neq 0):
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y = x^{2}y^{2}.
Agora temos uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} com
P(x)=\frac{2}{x},\quad Q(x)=x^{2},\quad n=2.
Não se assuste com essa forma: há um procedimento padrão (substituição) que transforma isso numa equação linear.

Passo 3

Explicando a ideia da substituição (aula rápida e prática): quando temos \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} com n\neq 0,1, usamos a substituição
v = y^{1-n}.
Aqui n=2, logo escolhemos
v = y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Vamos relacionar \dfrac{dv}{dx} com \dfrac{dy}{dx}. Diferenciando v=\dfrac{1}{y} em relação a x obtemos
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} fica
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\frac{dv}{dx}.
Essa expressão permite substituir \dfrac{dy}{dx} na equação original e eliminar a não linearidade em y.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{dv}{dx} e v=\dfrac{1}{y} na equação da Passo 2:
- y^{2}\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}y = x^{2}y^{2}.
Para simplificar, divido toda a igualdade por y^{2} (válido enquanto y\neq 0; lembra que trataremos y\equiv 0 separadamente):
- \frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}\cdot\frac{1}{y} = x^{2}.
Agora uso \dfrac{1}{y}=v para obter uma equação linear em v:
- \frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}v = x^{2}.
Multiplico por -1 para deixar no formato padrão
\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x}v = -x^{2}.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para v(x) do tipo \dfrac{dv}{dx}+P_v(x)\,v=Q_v(x) com P_v(x)=-\dfrac{2}{x} e Q_v(x)=-x^{2}.

Passo 5

Resolver a linear por fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\left(\int P_v(x)\,dx\right)=\exp\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right).
Calculo a integral:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x| = \ln|x|^{-2}.
Logo
\mu(x)=|x|^{-2}.
Para simplificar a notação, trabalho com x\neq 0 e uso \mu(x)=x^{-2} (a diferença é apenas sinal absoluto no domínio). Multiplico a equação por \mu(x):
x^{-2}\frac{dv}{dx} - 2x^{-3}v = -1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{-2}v\big). Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}v\big) = -1.
Integro ambos os lados em x:
x^{-2}v = \int -1\,dx = -x + C,
onde C é a constante de integração. Assim
v = x^{2}(-x + C) = -x^{3} + C x^{2}.

Passo 6

Voltando para y: lembrando que v=\dfrac{1}{y}, temos
\frac{1}{y} = -x^{3} + C x^{2} = x^{2}(C - x).
Invertendo,
y(x)=\frac{1}{x^{2}(C - x)}.
Esta é a família de soluções obtida pela substituição, válida para x\neq 0 e para pontos onde o denominador não anula. Não esquecer da solução trivial: se y\equiv 0 então a equação original é satisfeita (verificação direta). Portanto a solução geral consiste na família acima mais a solução nula.
Comentário sobre constantes e domínio: C é constante arbitrária real; soluções singulares ocorrem onde x^{2}(C-x)=0 (ou seja, x=0 ou x=C), nesses pontos a expressão para y explode — isso é normal: a solução pode ter assíntotas verticais. Em provas geralmente basta apresentar a família de soluções e mencionar a solução trivial separadamente.

Resposta

y(x)=\frac{1}{x^{2}\bigl(C-x\bigr)},\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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