Resolva as EDOs de Bernoulli:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se ache a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve
, e . - Há um fator
multiplicando ; portanto devemos tomar cuidado ao dividir por : só é válido para . - É esperado obter a família de soluções com uma constante arbitrária
. Não esquecer da possível solução trivial (que normalmente fica de fora de substituições que envolvem ).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a equação em uma forma mais padrão, isolando
. Divido toda a equação por
(lembrando que isso exige
):
Agora temos uma equação do tipo
com
Não se assuste com essa forma: há um procedimento padrão (substituição) que transforma isso numa equação linear.
Passo 3
Explicando a ideia da substituição (aula rápida e prática): quando temos
com
, usamos a substituição
Aqui
, logo escolhemos
Vamos relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
fica
Essa expressão permite substituir
na equação original e eliminar a não linearidade em
.
Passo 4
Substituo
e
na equação da Passo 2:
Para simplificar, divido toda a igualdade por
(válido enquanto
; lembra que trataremos
separadamente):
Agora uso
para obter uma equação linear em
:
Multiplico por
para deixar no formato padrão
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
do tipo
com
e
.
Passo 5
Resolver a linear por fator integrante. O fator integrante
é
Calculo a integral:
Logo
Para simplificar a notação, trabalho com
e uso
(a diferença é apenas sinal absoluto no domínio). Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Portanto
Integro ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Voltando para
: lembrando que
, temos
Invertendo,
Esta é a família de soluções obtida pela substituição, válida para
e para pontos onde o denominador não anula. Não esquecer da solução trivial: se
então a equação original é satisfeita (verificação direta). Portanto a solução geral consiste na família acima mais a solução nula.
Comentário sobre constantes e domínio:
é constante arbitrária real; soluções singulares ocorrem onde
(ou seja,
ou
), nesses pontos a expressão para
explode — isso é normal: a solução pode ter assíntotas verticais. Em provas geralmente basta apresentar a família de soluções e mencionar a solução trivial separadamente.