(1,4pts) Considere uma lagoa que contém inicialmente 10 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para dentro da lagoa à taxa de 5 milhões de galões/ano e a mistura na lagoa flui para fora à mesma taxa. A concentração
do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão
gal. Construa um modelo matemático deste processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas diretamente do texto do problema):
- Volume da lagoa é constante e igual a
milhões de galões. - Taxa de entrada de água:
milhões de galões por ano. - Taxa de saída de água:
milhões de galões por ano (mesma taxa de entrada). - Concentração do químico na água que entra:
g/gal. - Condição inicial: a lagoa contém água fresca inicialmente (ou seja, concentração inicial dentro da lagoa é zero).
O que o problema pede:
- Construir um modelo matemático do processo de mistura (ou seja, uma equação diferencial que descreva a quantidade de químico na lagoa).
- Determinar a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante
.
Passo 2
Definição de variável e unidades (para não nos perder com milhões e grandezas):
- Seja
a quantidade de produto químico na lagoa, medida em “milhões de gramas” (isto é, é a quantidade em g). Essa escolha torna as contas mais simples porque as taxas de fluxo estão em milhões de galões por ano. (Se quiser a quantidade em gramas, é só multiplicar o resultado por .) - Volume constante
(milhões de galões). - Taxa de fluxo
(milhões de galões por ano).
Raciocínio para montar a equação diferencial (modelo de mistura bem-misturada): a taxa de variação
é igual à taxa de entrada de massa do químico menos a taxa de saída de massa do químico. A concentração dentro da lagoa, em milhões de gramas por milhão de galões, é
(equivalente a g/gal, nas unidades que escolhemos).
Portanto
Substituindo
,
e
obtemos
Simplificando os números:
Reescrevendo na forma padrão de equação linear de 1º ordem:
Passo 3
Resolvendo a equação linear de primeira ordem. Método: fator integrante.
Equação na forma
com
e
.
Fator integrante:
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, logo
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora calculamos a integral separando os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo: usamos a fórmula padrão
aqui
e
. Então
Simplificando
, obtemos
Multiplicando por
:
Somando os dois termos da integral:
Portanto
Dividindo por
dá a solução geral:
Passo 4
Aplicação da condição inicial. Como a lagoa começa com água fresca, a quantidade inicial de químico é zero:
.
Substituindo
em
:
Como
, temos
Colocando
obtemos
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Lembrete sobre unidades: aqui
está em milhões de gramas. Se precisar da resposta em gramas, multiplicar por
.
Passo 5
Interpretação física (útil na prova): a solução tem duas partes:
- A parte periódica estacionária
que reflete a resposta forçada pela concentração periódica da entrada
.
- O termo transitório
que decai exponencialmente com constante de decaimento
(ou seja, tempo característico
anos). Assim, à medida que
o termo transitório some e a quantidade na lagoa converge para a solução periódica acima.