(1,4pts) Considere uma lagoa que contém inicialmente 10 milhões de galões de água fresca. Água contendo um produto químico indesejável flui para dentro da lagoa à taxa de 5 milhões de galões/ano e a mistura na lagoa flui para fora à mesma taxa. A concentração \gamma(\mathrm{t}) do produto químico na água que entra varia periodicamente com o tempo de acordo com a expressão \gamma(\mathrm{t})=2+\sin (2 \mathrm{t}) \mathrm{g} / gal. Construa um modelo matemático deste processo de fluxo e determine a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas diretamente do texto do problema):
  • Volume da lagoa é constante e igual a 10 milhões de galões.
  • Taxa de entrada de água: 5 milhões de galões por ano.
  • Taxa de saída de água: 5 milhões de galões por ano (mesma taxa de entrada).
  • Concentração do químico na água que entra: \gamma(t)=2+\sin(2t) g/gal.
  • Condição inicial: a lagoa contém água fresca inicialmente (ou seja, concentração inicial dentro da lagoa é zero).
O que o problema pede:
  • Construir um modelo matemático do processo de mistura (ou seja, uma equação diferencial que descreva a quantidade de químico na lagoa).
  • Determinar a quantidade de produto químico na lagoa em qualquer instante t.

Passo 2

Definição de variável e unidades (para não nos perder com milhões e grandezas):
  • Seja A(t) a quantidade de produto químico na lagoa, medida em “milhões de gramas” (isto é, A é a quantidade em 10^{6} g). Essa escolha torna as contas mais simples porque as taxas de fluxo estão em milhões de galões por ano. (Se quiser a quantidade em gramas, é só multiplicar o resultado por 10^{6}.)
  • Volume constante V=10 (milhões de galões).
  • Taxa de fluxo r=5 (milhões de galões por ano).
Raciocínio para montar a equação diferencial (modelo de mistura bem-misturada): a taxa de variação dA/dt é igual à taxa de entrada de massa do químico menos a taxa de saída de massa do químico. A concentração dentro da lagoa, em milhões de gramas por milhão de galões, é \dfrac{A(t)}{V} (equivalente a g/gal, nas unidades que escolhemos).
Portanto
\frac{dA}{dt}= \text{(taxa de entrada)} - \text{(taxa de saída)} = r\cdot\gamma(t) - r\cdot\frac{A(t)}{V}.í
Substituindo r=5, V=10 e \gamma(t)=2+\sin(2t) obtemos
\frac{dA}{dt} = 5\bigl(2+\sin(2t)\bigr) - 5\cdot\frac{A}{10}.
Simplificando os números:
\frac{dA}{dt} = 10 + 5\sin(2t) - \frac{1}{2}A.
Reescrevendo na forma padrão de equação linear de 1º ordem:
\frac{dA}{dt} + \frac{1}{2}A = 10 + 5\sin(2t).

Passo 3

Resolvendo a equação linear de primeira ordem. Método: fator integrante.
Equação na forma
\frac{dA}{dt} + pA = q(t),
com p=\tfrac{1}{2} e q(t)=10+5\sin(2t).
Fator integrante:
\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{\int \frac{1}{2}\,dt}=e^{t/2}.
Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{t/2}\frac{dA}{dt} + \frac{1}{2}e^{t/2}A = e^{t/2}\bigl(10+5\sin(2t)\bigr).
O lado esquerdo é a derivada de e^{t/2}A, logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}A\bigr) = e^{t/2}\bigl(10+5\sin(2t)\bigr).
Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t/2}A(t)=\int e^{t/2}\bigl(10+5\sin(2t)\bigr)\,dt + C,
onde C é a constante de integração.
Agora calculamos a integral separando os termos:
\int e^{t/2}\bigl(10+5\sin(2t)\bigr)\,dt =10\int e^{t/2}\,dt +5\int e^{t/2}\sin(2t)\,dt.
Primeiro termo:
\int e^{t/2}\,dt = 2e^{t/2}\quad\Rightarrow\quad 10\int e^{t/2}\,dt = 20e^{t/2}.
Segundo termo: usamos a fórmula padrão
\int e^{at}\sin(bt)\,dt = e^{at}\frac{a\sin(bt)-b\cos(bt)}{a^{2}+b^{2}} + \text{const.}
aqui a=\tfrac{1}{2} e b=2. Então
\int e^{t/2}\sin(2t)\,dt = e^{t/2}\frac{\tfrac{1}{2}\sin(2t)-2\cos(2t)}{(\tfrac{1}{2})^{2}+2^{2}} = e^{t/2}\frac{\tfrac{1}{2}\sin(2t)-2\cos(2t)}{\tfrac{1}{4}+4} = e^{t/2}\frac{\tfrac{1}{2}\sin(2t)-2\cos(2t)}{17/4}.
Simplificando \tfrac{1}{17/4}=4/17, obtemos
\int e^{t/2}\sin(2t)\,dt = e^{t/2}\Bigl(\frac{2}{17}\sin(2t)-\frac{8}{17}\cos(2t)\Bigr).
Multiplicando por 5:
5\int e^{t/2}\sin(2t)\,dt = e^{t/2}\Bigl(\frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t)\Bigr).
Somando os dois termos da integral:
\int e^{t/2}\bigl(10+5\sin(2t)\bigr)\,dt = e^{t/2}\Bigl(20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t)\Bigr).
Portanto
e^{t/2}A(t)= e^{t/2}\Bigl(20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t)\Bigr) + C.
Dividindo por e^{t/2} dá a solução geral:
A(t)=20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t) + C e^{-t/2}.

Passo 4

Aplicação da condição inicial. Como a lagoa começa com água fresca, a quantidade inicial de químico é zero: A(0)=0.
Substituindo t=0 em A(t):
A(0)=20 + \frac{10}{17}\sin(0)-\frac{40}{17}\cos(0) + C e^{0} =20 + 0 -\frac{40}{17} + C.
Como A(0)=0, temos
0=20 -\frac{40}{17} + C \quad\Rightarrow\quad C = -\Bigl(20 -\frac{40}{17}\Bigr).
Colocando 20=\dfrac{340}{17} obtemos
C = -\Bigl(\frac{340}{17}-\frac{40}{17}\Bigr) = -\frac{300}{17}.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
A(t)=20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t) - \frac{300}{17}e^{-t/2}.
Lembrete sobre unidades: aqui A(t) está em milhões de gramas. Se precisar da resposta em gramas, multiplicar por 10^{6}.

Passo 5

Interpretação física (útil na prova): a solução tem duas partes:
  • A parte periódica estacionária
20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t)
que reflete a resposta forçada pela concentração periódica da entrada \gamma(t).
  • O termo transitório
-\frac{300}{17}e^{-t/2}
que decai exponencialmente com constante de decaimento 1/2 (ou seja, tempo característico 2 anos). Assim, à medida que t\to\infty o termo transitório some e a quantidade na lagoa converge para a solução periódica acima.

Resposta

A(t)=20 + \frac{10}{17}\sin(2t)-\frac{40}{17}\cos(2t) - \frac{300}{17}e^{-t/2}.

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