Resolva as EDOs de Bernoulli:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a solução explícita
que satisfaça a EDO e a condição inicial. Informações relevantes dadas:
- A EDO é de primeira ordem e não linear ao primeiro olhar (aparece
). - Há um fator
multiplicando , logo é preciso observar que se dividirmos por . - A condição inicial fixa o valor da solução em
.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma mais padrão, isolando
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando
):
Aqui já está mais claro: temos um termo
, um termo linear em
com coeficiente
e um termo não linear
.
Passo 3
Esta equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é a forma geral
No nosso caso
,
e
.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
Explicando por que: essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear em
. Aqui
, então escolhemos
Agora precisamos relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos
na equação já dividida por
:
Dividindo tudo por
(isso é legítimo enquanto
; a condição inicial dá
, e a solução a seguir preservará isso no intervalo apropriado):
Lembrando que
, vem
Multiplicando por
para escrever no formato linear padrão:
Portanto chegamos a uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Resolver a equação linear
Calcule o fator integrante
:
Para trabalhar no intervalo que contém
podemos tomar
, então
. Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Voltando à variável original usando
:
Logo
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Isto implica
, portanto
Substituindo
na expressão de
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Observação sobre o domínio: a solução obtida é válida em um intervalo que contenha
e onde o denominador
não zere. Em particular, a raiz
e a raiz
(aprox.
) são pontos a evitar; a condição inicial
está em
, então a solução é válida em um intervalo como
que contém
.