Resolva as EDOs de Bernoulli:
x \frac{d y}{d x}+y=x^{4} y^{2}, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
x\frac{dy}{dx}+y=x^{4}y^{2},\qquad y(1)=1.
O que é pedido: encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a EDO e a condição inicial. Informações relevantes dadas:
  • A EDO é de primeira ordem e não linear ao primeiro olhar (aparece y^{2}).
  • Há um fator x multiplicando \dfrac{dy}{dx}, logo é preciso observar que x\neq0 se dividirmos por x.
  • A condição inicial fixa o valor da solução em x=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma mais padrão, isolando \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por x (lembrando x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^{3}y^{2}.
Aqui já está mais claro: temos um termo \dfrac{dy}{dx}, um termo linear em y com coeficiente \dfrac{1}{x} e um termo não linear x^{3}y^{2}.

Passo 3

Esta equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é a forma geral
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
No nosso caso \;P(x)=\dfrac{1}{x}, \;Q(x)=x^{3} e \;n=2.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
u=y^{1-n}.
Explicando por que: essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear em u. Aqui n=2, então escolhemos
u=y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Agora precisamos relacionar \dfrac{du}{dx} com \dfrac{dy}{dx}. Diferenciando u=y^{-1} em relação a x:
\frac{du}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=-y^{2}\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituímos \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{du}{dx} na equação já dividida por x:
-\,y^{2}\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}y=x^{3}y^{2}.
Dividindo tudo por y^{2} (isso é legítimo enquanto y\neq0; a condição inicial dá y(1)=1\neq0, e a solução a seguir preservará isso no intervalo apropriado):
-\,\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}y^{-1}=x^{3}.
Lembrando que y^{-1}=u, vem
-\,\frac{du}{dx}+\frac{1}{x}u=x^{3}.
Multiplicando por -1 para escrever no formato linear padrão:
\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-x^{3}.
Portanto chegamos a uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 5

Resolver a equação linear
\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-x^{3}.
Calcule o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=\frac{1}{|x|}.
Para trabalhar no intervalo que contém x=1 podemos tomar x>0, então \mu(x)=x^{-1}. Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-1}:
\frac{1}{x}\frac{du}{dx}-\frac{1}{x^{2}}u=-x^{2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{u}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{x}\right)=-x^{2}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{u}{x}=\int -x^{2}\,dx=-\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
u=x\!\left(-\frac{x^{3}}{3}+C\right)=C x-\frac{1}{3}x^{4}.

Passo 6

Voltando à variável original usando u=\dfrac{1}{y}:
\frac{1}{y}=C x-\frac{1}{3}x^{4}.
Logo
y=\frac{1}{C x-\dfrac{1}{3}x^{4}}.
Agora usamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1, y=1:
1=\frac{1}{C\cdot1-\dfrac{1}{3}\cdot1^{4}}=\frac{1}{C-\tfrac{1}{3}}.
Isto implica C-\tfrac{1}{3}=1, portanto
C=\frac{4}{3}.
Substituindo C na expressão de y:
y(x)=\frac{1}{\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}x^{4}}.
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar:
y(x)=\frac{3}{4x-x^{4}}=\frac{3}{x(4-x^{3})}.
Observação sobre o domínio: a solução obtida é válida em um intervalo que contenha x=1 e onde o denominador x(4-x^{3}) não zere. Em particular, a raiz x=0 e a raiz x=4^{1/3} (aprox. 1{,}587) são pontos a evitar; a condição inicial x=1 está em (0,4^{1/3}), então a solução é válida em um intervalo como (0,4^{1/3}) que contém 1.

Resposta

y(x)=\frac{3}{x(4-x^{3})}.

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