Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime} - \frac{6 y}{1+x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma EDO de Euler–Cauchy homogênea. A forma geral de uma EDO de Euler–Cauchy é
x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0
e a técnica é usar o ansatz
y(x)=x^{r}.
No enunciado aparece
x^{2}y'' + x\,y' - \frac{6\,y}{1+x}=0,
mas para que seja realmente uma EDO de Euler–Cauchy deve ter coeficiente constante em y. Vamos então interpretar que o “ /(1+x)” pertence ao denominador da equação inteira, de modo que a parte homogênea seja
x^{2}y'' + x\,y' -6\,y = 0.

Passo 2

Adotamos o ansatz de Euler–Cauchy
y(x)=x^{r}.
Então
y'(x)=r\,x^{r-1}, \qquad y''(x)=r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na EDO
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] -6\,x^{r} =0.

Passo 3

Fatorando x^{r} (e lembrando que x>0 para Euler–Cauchy), obtemos a equação característica
r(r-1) + r -6 = 0.
Desenvolvendo,
r^{2}-r + r -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} - 6 = 0.

Passo 4

Resolvendo r^{2}-6=0, achamos
r = \pm \sqrt{6}.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{\sqrt{6}} \;+\; C_{2}\,x^{-\sqrt{6}},
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\sqrt{6}} + C_{2}\,x^{-\sqrt{6}}.

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