Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
(2 x+3)^{2} y^{\prime \prime}+(2 x+3) y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(2x+3)^{2}y''+(2x+3)y'+y=0
e pede a solução geral. Embora não seja no formato clássico de Euler–Cauchy em x, se fizermos a mudança de variável
t = 2x+3
a equação torna–se do tipo Euler–Cauchy em t. Vamos usar isso para resolver.

Passo 2

Computamos as derivadas em função de t. Como t=2x+3, temos
\frac{dt}{dx}=2,
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y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=2\,y_{t},
y''=\frac{d}{dx}(2\,y_{t})=2\frac{d}{dx}y_{t} =2\Bigl(y_{tt}\frac{dt}{dx}\Bigr) =4\,y_{tt}.

Passo 3

Substituindo y' e y'' na EDO original, com t=2x+3, obtemos
(2x+3)^{2}\bigl(4\,y_{tt}\bigr)+(2x+3)\bigl(2\,y_{t}\bigr)+y=0
ou, em função de t,
4t^{2}y_{tt}+2t\,y_{t}+y=0.
Essa é uma EDO de Euler–Cauchy padrão.

Passo 4

Na forma de Euler–Cauchy, tentamos y=t^{m}. Substituindo:
4t^{2}\bigl[m(m-1)t^{m-2}\bigr]+2t\bigl[m\,t^{m-1}\bigr]+t^{m}=0 \;\Longrightarrow\; t^{m}\bigl(4m(m-1)+2m+1\bigr)=0.
A equação característica é
4m^{2}-2m+1=0.
Resolvendo:
m=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4} =\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{8} =\frac{2\pm i2\sqrt{3}}{8} =\frac{1}{4}\pm i\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 5

Como as raízes são complexas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=\tfrac14 e \beta=\tfrac{\sqrt3}{4}, a solução geral em t é
y(t) =t^{\alpha}\Bigl[C_{1}\cos\bigl(\beta\ln t\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\beta\ln t\bigr)\Bigr] =(t)^{\tfrac14}\Bigl[C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln t\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln t\bigr)\Bigr].

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que t=2x+3, a solução geral fica
y(x) =(2x+3)^{\tfrac14}\Bigl[C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln(2x+3)\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln(2x+3)\bigr)\Bigr].

Resposta

\boxed{y(x) =(2x+3)^{\tfrac14}\Bigl[C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln(2x+3)\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{4}\ln(2x+3)\bigr)\Bigr].}

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