Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime} - \frac{6 y}{1+x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma “equação de Euler–Cauchy homogênea”
x^{2}y'' + x\,y' - \frac{6y}{1+x} \;=\;0.
Para aplicar o método de Euler–Cauchy, toda a equação deve ter coeficientes que são potências de x (isto é, termos como x^2, x e constante), de modo que o teste típico y=x^{m} leve a uma equação algébrica em m.

Passo 2

Examinando o termo -\frac{6y}{1+x}, vemos que o coeficiente de y não é uma potência de x, mas sim a função racional \frac{1}{1+x}.

Passo 3

Como o método de Euler–Cauchy só vale quando cada coeficiente da EDO é do tipo x^k (com k inteiro), aqui ele não se aplica.

Resposta

A equação dada não é uma equação de Euler–Cauchy (devido ao fator 1/(1+x)) e, portanto, não pode ser resolvida pelo método de Euler–Cauchy homogêneo.

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