Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\sin 2 x+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não\mbox{-}homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = \sin(2x) + e^x.
O procedimento é: (i) encontrar a solução geral y_h da equação homogênea associada, (ii) achar duas soluções particulares y_{p1} para o termo \sin(2x) e y_{p2} para o termo e^x por “método dos palpites”, e (iii) somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r = -1. Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x}.

Passo 3

Para o termo \sin(2x) usamos o palpite
y_{p1}(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).
Calculamos as derivadas:
y_{p1}' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x), \quad y_{p1}'' = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).

Passo 4

Substituindo na parte esquerda da EDO,
y_{p1}'' + 2y_{p1}' + y_{p1} = \bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr) +2\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr) +(A\cos(2x)+B\sin(2x))
=(-3A+4B)\cos(2x)\;+\;(-4A-3B)\sin(2x).
Como isso deve ser igual a \sin(2x), obtemos o sistema
\begin{cases} -3A + 4B = 0,\\\\ -4A - 3B = 1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo
-3A+4B=0\\ \Rightarrow\\ B=\tfrac{3}{4}A, \quad -4A-3B=1 \\ \Rightarrow\\\ -4A-\tfrac{9}{4}A=1 \\ \Rightarrow\\\ -\tfrac{25}{4}A=1 \\ \Rightarrow\\ A=-\tfrac{4}{25},
B=\tfrac{3}{4}\,(-\tfrac{4}{25})=-\tfrac{3}{25}.
Portanto
y_{p1}(x)=-\tfrac{4}{25}\cos(2x)\;-\;\tfrac{3}{25}\sin(2x).

Passo 6

Para o termo e^x usamos o palpite
y_{p2}(x)=C\,e^x, \quad y_{p2}'=C\,e^x, \quad y_{p2}''=C\,e^x.
Substituindo,
y_{p2}''+2y_{p2}'+y_{p2} = C e^x(1+2+1)=4C\,e^x
deve igualar a e^x, então 4C=1 e C=\tfrac14. Logo
y_{p2}(x)=\tfrac14\,e^x.

Passo 7

A solução geral da EDO não\mbox{-}homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_{p1}(x)+y_{p2}(x) = C_1 e^{-x}+C_2\,x e^{-x} -\tfrac{4}{25}\cos(2x)-\tfrac{3}{25}\sin(2x) +\tfrac14\,e^x.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1 e^{-x}+C_2\,x e^{-x} -\frac{4}{25}\cos(2x)-\frac{3}{25}\sin(2x) +\frac{1}{4}e^x.}

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