Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia é encontrar a solução geral na forma
onde
é a solução da equação homogênea associada
e
é uma solução particular da não-homogênea, obtida por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para achar
, escrevemos a equação característica:
O discriminante é zero, e a raiz dupla é
. Logo,
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo
. Como
corresponde à raiz dupla
, multiplicamos por
. Fazemos o ensaio
Aplicando o operador
temos
então
Para anular
à direita, igualamos
, de onde
. Portanto
Passo 4
Agora achamos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como não há raiz nula na homogênea, tentamos
Então
e
Isso deve igualar
, logo
Da primeira equação
. Da segunda
dá
. Assim
Passo 5
A solução geral é