Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-9 y=18 x+6 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
y'' - 9y = 18x + 6e^{3x}.
O procedimento é:
  1. encontrar a solução geral y_h da equação homogênea associada usando a equação característica;
  2. obter uma solução particular y_p para o termo 18x (polinomial) e para o termo 6e^{3x} (exponencial) pelo método dos coeficientes indeterminados;
  3. somar y_h e y_p.

Passo 2

Equação homogênea:
y'' - 9y = 0.
A equação característica é
r^2 - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 3,\;-3.
Logo a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para o termo polinomial 18x, tentamos
y_{p1} = Ax + B.
Então y_{p1}'' = 0 e ao substituir em y'' -9y vem
0 - 9(Ax + B) = -9Ax - 9B \stackrel{!}{=} 18x.
Igualando coeficientes:
-9A = 18 \;\Rightarrow\; A = -2, \qquad -9B = 0 \;\Rightarrow\; B = 0.
Assim
y_{p1} = -2x.

Passo 4

Para o termo exponencial 6e^{3x}, como r=3 é raiz simples da característica, a tentativa é
y_{p2} = C\,x\,e^{3x}.
Calculamos
y_{p2}' = C\,e^{3x}(1+3x), \qquad y_{p2}'' = C\,e^{3x}(6+9x).
Substituindo em y'' - 9y:
y_{p2}'' - 9y_{p2} = C\,e^{3x}(6+9x) \;-\; 9C\,x\,e^{3x} = 6C\,e^{3x} \stackrel{!}{=} 6e^{3x} \;\Longrightarrow\; C = 1.
Logo
y_{p2} = x\,e^{3x}.

Passo 5

A solução particular completa é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = -2x + x\,e^{3x}.
Portanto, a solução geral da EDO é
y = y_h + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} - 2x + x\,e^{3x}.

Resposta

y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} - 2x + x\,e^{3x}.

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