Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy homogêneas.
-4 x^{2} y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Euler–Cauchy
-4x^{2}y'' + 7x y' + y = 0
e pede a solução geral. Para equações desse tipo, usamos o palpite y = x^{m}.

Passo 2

Supondo y = x^{m}, temos
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituímos na EDO.

Passo 3

Ao substituir,
-4x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) +7x\bigl(m x^{m-1}\bigr) + x^{m} =0.
Fatorando x^{m} (que não se anula para x\neq0), sobra a equação característica:
-4\,m(m-1) +7m +1 = 0.

Passo 4

Expandindo a característica,
-4m^{2} +4m +7m +1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -4m^{2} +11m +1 = 0.
O discriminante é
\Delta = 11^{2} -4\cdot(-4)\cdot1 = 121 +16 = 137.

Passo 5

As raízes são
m = \frac{-11 \pm \sqrt{137}}{-8} = \frac{11 \mp \sqrt{137}}{8}.
Chamando
m_{1} = \frac{11 - \sqrt{137}}{8}, \quad m_{2} = \frac{11 + \sqrt{137}}{8},
obtemos duas raízes reais distintas.

Passo 6

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{m_{1}} + C_{2}\,x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\frac{11 - \sqrt{137}}{8}} \;+\; C_{2}\,x^{\frac{11 + \sqrt{137}}{8}}.

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