Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+2 x \\\ y(0) & =2026\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
A equação diferencial é \frac{dy}{dx}=y+2x.
A condição inicial é y(0)=2026.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro passo útil é pôr a equação numa forma padrão para usar um método sistemático. Vamos rearranjar a equação isolando todos os termos em y num mesmo lado:
\frac{dy}{dx}-y=2x.
Agora temos uma equação da forma \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) com p(x)=-1 e q(x)=2x. Uma técnica prática para resolver esse tipo de equação é multiplicar por um fator que torne o lado esquerdo a derivada de um produto; esse fator chama-se fator integrante. Vou usar esse método porque a equação não é separável de forma direta e o fator integrante é o caminho mais simples e rápido aqui.
Explicando rápido: a razão de escolher \mu assim é que, ao multiplicar a equação por \mu, o lado esquerdo passa a ser exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x).
Passo 4
Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{-x} obtemos
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=2x e^{-x}.
Agora note que a expressão à esquerda é a derivada do produto e^{-x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}(e^{-x})\cdot y =e^{-x}\frac{dy}{dx}+(-e^{-x})y =e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y.