Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+2 x \\\ y(0) & =2026\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
  • A equação diferencial é \frac{dy}{dx}=y+2x.
  • A condição inicial é y(0)=2026.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro passo útil é pôr a equação numa forma padrão para usar um método sistemático. Vamos rearranjar a equação isolando todos os termos em y num mesmo lado:
\frac{dy}{dx}-y=2x.
Agora temos uma equação da forma \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) com p(x)=-1 e q(x)=2x. Uma técnica prática para resolver esse tipo de equação é multiplicar por um fator que torne o lado esquerdo a derivada de um produto; esse fator chama-se fator integrante. Vou usar esse método porque a equação não é separável de forma direta e o fator integrante é o caminho mais simples e rápido aqui.

Passo 3

Definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Como p(x)=-1, calculamos
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.
Explicando rápido: a razão de escolher \mu assim é que, ao multiplicar a equação por \mu, o lado esquerdo passa a ser exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x).

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{-x} obtemos
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=2x e^{-x}.
Agora note que a expressão à esquerda é a derivada do produto e^{-x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=e^{-x}\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}(e^{-x})\cdot y =e^{-x}\frac{dy}{dx}+(-e^{-x})y =e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y.

Passo 5

Assim a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)=2x e^{-x}.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr)\,dx=\int 2x e^{-x}\,dx.
Isso dá
e^{-x}y=\int 2x e^{-x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora precisamos calcular a integral \int 2x e^{-x}\,dx. Vou usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhendo u=2x e dv=e^{-x}dx, temos du=2dx e v=-e^{-x}. Aplicando a fórmula:
\int 2x e^{-x}\,dx = (2x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot 2\,dx.
Simplificando:
\int 2x e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx.
E \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, logo
\int 2x e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} + 2(-e^{-x}) = -2e^{-x}(x+1) + C_1.
(onde C_1 é constante; depois juntamos com a constante anterior.)

Passo 7

Substituindo a integral encontrada em e^{-x}y=\int 2x e^{-x}\,dx + C, obtemos
e^{-x}y = -2e^{-x}(x+1) + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{x} para isolar y,
y = -2(x+1) + C e^{x}.
Podemos escrever de forma limpa como
y = C e^{x} -2x -2.
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2026 para determinar C. Substituindo x=0:
y(0)=C e^{0}-2\cdot 0 -2 = C -2.
Pelo enunciado, y(0)=2026, então
C -2 = 2026 \quad\Rightarrow\quad C=2028.

Resposta

y(x)=2028\,e^{x}-2x-2

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