(EDOs não homogêneas de
ordem) Seja
um número real não-nulo e
:
uma função. Admitindo que
é uma solução particular da EDO
mostre que existe
tal que
é a solução geral de (1.1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as hipóteses seguintes:
- A equação é
com
e
.
- Está dada uma função
que é uma solução particular da equação, ou seja, satisfaz
O que o enunciado pede: mostrar que existe uma constante
tal que a função
é a solução geral da equação dada. Em outras palavras: (i) provar que, para todo
, essa função é uma solução; (ii) provar que qualquer solução
da equação pode ser escrita dessa forma para algum
.
Passo 2
Primeiro mostro que, para qualquer constante
, a função
é de fato uma solução.
Cálculo a derivada de
. Como
é constante e
é diferenciável,
Agora substituo
e
na equação original:
Agrupando termos:
Como
é solução particular, tem
. Logo
ou seja,
Portanto
satisfaz a equação para todo
. Conclusão: todas essas funções são soluções (mostrei (i)).
Passo 3
Agora mostro que qualquer solução
da equação pode ser escrita como
para alguma constante
.
Seja
uma solução qualquer; isto é,
. Considere a diferença entre
e a solução particular
:
Vou achar a equação que
satisfaz. Derivando,
Substituindo
e
pelas respectivas equações dadas:
Portanto
satisfaz a equação homogênea de primeira ordem
Passo 4
Resolver a equação homogênea
(aqui uma pequena aula do método usado).
Esta é uma equação de variáveis separáveis. Reescreve-se como
válido quando
. Integra-se ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Absorvendo o sinal em
(ou seja, permitindo que a constante seja qualquer real não nulo ou zero), obtemos a forma geral
onde
é uma constante arbitrária. Observe que o caso
corresponde a
.
Passo 5
Voltando à definição
, achamos que para qualquer solução
existe
tal que
isto é,
Isso mostra (ii): toda solução
tem essa forma. Juntando com (i) — que já mostrou que toda função dessa forma é solução — concluímos que as funções
com
são exatamente todas as soluções da equação, ou seja, dão a solução geral.
Passo 6
Comentário prático (como encontrar um
na prática): o método do fator integrante para a equação linear
é multiplicar por
e escrever
Integrando,
portanto a forma geral é
Daí uma solução particular explícita pode ser escolhida como
o que confirma a decomposição anterior e fornece uma receita para achar
quando necessário. Exemplo rápido: se
e
, então
logo a solução geral é
.