(EDOs não homogêneas de 1^{\text {a }} ordem) Seja a um número real não-nulo e b : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função. Admitindo que y_{p}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma solução particular da EDO
\frac{d y}{d x}=a y+b(x)
mostre que existe c \in \mathbb{R} tal que
y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x)
é a solução geral de (1.1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as hipóteses seguintes:
  • A equação é \frac{d y}{d x}=a y+b(x),
com a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e b:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Está dada uma função y_{p}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é uma solução particular da equação, ou seja, satisfaz \frac{d y_{p}}{d x}=a y_{p}+b(x)\quad\text{para todo }x.
O que o enunciado pede: mostrar que existe uma constante c\in\mathbb{R} tal que a função
y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x)
é a solução geral da equação dada. Em outras palavras: (i) provar que, para todo c, essa função é uma solução; (ii) provar que qualquer solução y da equação pode ser escrita dessa forma para algum c.

Passo 2

Primeiro mostro que, para qualquer constante c\in\mathbb{R}, a função \,y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x)\, é de fato uma solução.
Cálculo a derivada de y. Como c é constante e y_{p} é diferenciável,
\frac{d y}{d x}=c\cdot a e^{a x}+\frac{d y_{p}}{d x}.
Agora substituo y e y' na equação original:
\frac{d y}{d x}-a y = \bigl(c a e^{a x}+y_{p}'\bigr)-a\bigl(c e^{a x}+y_{p}\bigr).
Agrupando termos:
\frac{d y}{d x}-a y = c a e^{a x}-c a e^{a x}+y_{p}'-a y_{p} = y_{p}'-a y_{p}.
Como y_{p} é solução particular, tem y_{p}'-a y_{p}=b(x). Logo
\frac{d y}{d x}-a y = b(x),
ou seja,
\frac{d y}{d x}=a y+b(x).
Portanto y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x) satisfaz a equação para todo c. Conclusão: todas essas funções são soluções (mostrei (i)).

Passo 3

Agora mostro que qualquer solução y da equação pode ser escrita como y=y_{p}+c e^{a x} para alguma constante c.
Seja y uma solução qualquer; isto é, \,y' = a y + b(x)\,. Considere a diferença entre y e a solução particular y_{p}:
z(x):=y(x)-y_{p}(x).
Vou achar a equação que z satisfaz. Derivando,
z'(x)=y'(x)-y_{p}'(x).
Substituindo y' e y_{p}' pelas respectivas equações dadas:
z'(x)=\bigl(a y(x)+b(x)\bigr)-\bigl(a y_{p}(x)+b(x)\bigr)=a\bigl(y(x)-y_{p}(x)\bigr)=a z(x).
Portanto z satisfaz a equação homogênea de primeira ordem
\frac{d z}{d x}=a z.

Passo 4

Resolver a equação homogênea \,z'=a z\, (aqui uma pequena aula do método usado).
Esta é uma equação de variáveis separáveis. Reescreve-se como
\frac{1}{z}\,dz = a\,dx,
válido quando z\neq0. Integra-se ambos os lados:
\int \frac{1}{z}\,dz = \int a\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|z| = a x + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|z| = e^{a x + C} = e^{C} e^{a x}.
Absorvendo o sinal em e^{C} (ou seja, permitindo que a constante seja qualquer real não nulo ou zero), obtemos a forma geral
z(x)=c e^{a x},
onde c\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária. Observe que o caso z\equiv0 corresponde a c=0.

Passo 5

Voltando à definição z=y-y_{p}, achamos que para qualquer solução y existe c\in\mathbb{R} tal que
y(x)-y_{p}(x)=c e^{a x},
isto é,
y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x).
Isso mostra (ii): toda solução y tem essa forma. Juntando com (i) — que já mostrou que toda função dessa forma é solução — concluímos que as funções \,y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x)\, com c\in\mathbb{R} são exatamente todas as soluções da equação, ou seja, dão a solução geral.

Passo 6

Comentário prático (como encontrar um y_{p} na prática): o método do fator integrante para a equação linear \,y'-a y=b(x)\, é multiplicar por \mu(x)=e^{-a x} e escrever
\bigl(e^{-a x}y(x)\bigr)'=e^{-a x}b(x).
Integrando,
e^{-a x}y(x)=C+\int e^{-a x}b(x)\,dx,
portanto a forma geral é
y(x)=e^{a x}\Bigl(C+\int e^{-a x}b(x)\,dx\Bigr)=C e^{a x}+e^{a x}\int e^{-a x}b(x)\,dx.
Daí uma solução particular explícita pode ser escolhida como
y_{p}(x)=e^{a x}\int e^{-a x}b(x)\,dx,
o que confirma a decomposição anterior e fornece uma receita para achar y_{p} quando necessário. Exemplo rápido: se a=1 e b(x)=e^{2x}, então
y_{p}(x)=e^{x}\int e^{-x}e^{2x}\,dx=e^{x}\int e^{x}\,dx=e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x},
logo a solução geral é y=C e^{x}+e^{2x}.

Resposta

y(x)=c e^{a x}+y_{p}(x)

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