Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+2 \\\ y(0) & =2026\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem. As informações e o que se pede são:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=y+2.
  • Condição inicial: y(0)=2026.
  • O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método: vou usar separação de variáveis. Justificativa curta e intuitiva: a equação está na forma em que o membro direito depende somente de y y+2), então podemos escrever \dfrac{dy}{dx}=g(y) e separar as variáveis y e x. Separação é um método básico e direto para esse tipo de ODE; é mais simples aqui do que o fator integrante, embora ambos levem ao mesmo resultado.

Passo 3

Colocar a equação de forma a separar y e x. Partindo de
\frac{dy}{dx}=y+2,
passamos todos os termos em y para o lado esquerdo e dx para o lado direito:
\frac{dy}{y+2}=dx.
Aqui a ideia é: \dfrac{dy}{dx} é uma taxa, e podemos tratar formalmente como dy=(y+2)\,dx, depois dividir por y+2 para isolar dy sobre expressão em y.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Ao integrar a esquerda em relação a y e a direita em relação a x, obtemos:
\int \frac{dy}{y+2}=\int dx.
Agora explicando a integral da esquerda: \int \dfrac{1}{y+2}\,dy é uma integral imediata que resulta em \ln|y+2| porque a derivada de y+2 é 1. Então:
\ln|y+2| = x + C,
onde C é a constante de integração (um número real que aparece quando integramos).

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|y+2| = e^{x+C} = e^{C}e^{x}.
Definindo A=e^{C}, onde A>0, temos |y+2|=A e^{x}. Isso dá duas possibilidades y+2 = A e^{x} ou y+2 = -A e^{x}. Podemos condensar ambas escrevendo y+2 = Ce^{x} onde C é uma constante real arbitrária (agora C pode ser positivo ou negativo). Assim:
y(x)=Ce^{x}-2.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar C. A condição dada é y(0)=2026. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=Ce^{0}-2 = C-2.
Igualando ao valor inicial:
C-2 = 2026.
Portanto
C=2028.

Passo 7

Escrever a solução particular e verificar rapidamente. Substituindo C=2028 na expressão de y(x), obtemos:
y(x)=2028\,e^{x}-2.
Verificação rápida (útil na prova): calcule \dfrac{d}{dx}[2028\,e^{x}-2]=2028\,e^{x}. Agora veja se satisfaz a equação original:
y+2 = (2028\,e^{x}-2)+2 = 2028\,e^{x},
logo \dfrac{dy}{dx}=2028\,e^{x}=y+2. A condição inicial também é satisfeita: y(0)=2028\cdot1-2=2026. Tudo confere.

Resposta

y(x)=2028\,e^{x}-2

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