Resolva as EDO’s ou problemas de valor inicial. Classifique as equações.
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+t y=\left(1+t^{2}\right)^{\frac{5}{2}} ;

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
(1+t^{2})\,y' + t\,y = (1+t^{2})^{\frac{5}{2}}
e pede para classificar a equação e encontrar a solução geral. Note que é uma EDO de primeira ordem, não separável, mas de forma linear em y.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por (1+t^{2}):
y' + \frac{t}{1+t^{2}}\,y = (1+t^{2})^{\frac{3}{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\tfrac12\ln(1+t^{2})\Bigr) = (1+t^{2})^{\frac12}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t) obtemos
(1+t^{2})^{\frac12}y' + \frac{t}{(1+t^{2})^{\frac12}}\,y = \frac{d}{dt}\bigl[(1+t^{2})^{\frac12}y\bigr] = (1+t^{2})^{\frac12}\,(1+t^{2})^{\frac{3}{2}} = (1+t^{2})^{2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
(1+t^{2})^{\frac12}y = \int (1+t^{2})^{2}\,dt + C = \int (1 + 2t^{2} + t^{4})\,dt + C = t + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{5}t^{5} + C.
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y(t) = \frac{t + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{5}t^{5} + C}{(1+t^{2})^{\frac12}}.

Resposta

Classificação: equação diferencial linear de primeira ordem (não separável).
Solução geral:
y(t) = \frac{t + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{1}{5}t^{5} + C}{\sqrt{1+t^{2}}}.

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