Verifique se cada EDO dada abaixo pode ser colocada na forma geral de uma equação linear de ordem n para uma escolha adequada de n. Em caso afirmativo, expresse os coeficientes a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, e g(t). Em cada caso, diga se a EDO é linear, não linear, homogênea ou nao homogênea.
t^{2} x^{\prime \prime}+t x^{\prime}+2 x= sent .

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
t^{2}x''(t)+t\,x'(t)+2\,x(t)=\operatorname{sen} t
e pede para verificar se ela pode ser escrita na forma geral de uma equação linear de ordem n,
a_{n}(t)\,x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{1}(t)\,x'(t)+a_{0}(t)\,x(t)=g(t).
Precisamos identificar n, os coeficientes a_{k}(t) e g(t), e dizer se a EDO é linear ou não e se é homogênea ou não homogênea.

Passo 2

Observamos que o maior índice de derivada que aparece é x''. Logo, basta escolher n=2. A equação tem a forma
a_{2}(t)\,x''(t)+a_{1}(t)\,x'(t)+a_{0}(t)\,x(t)=g(t).

Passo 3

Comparando termo a termo, temos:
a_{2}(t)=t^{2},\quad a_{1}(t)=t,\quad a_{0}(t)=2,
e o termo independente
g(t)=\operatorname{sen} t.

Passo 4

Como x, x' e x'' aparecem apenas multiplicados por funções de t e não há produtos ou potências de x ou de suas derivadas entre si, a EDO é linear. Como g(t)=\operatorname{sen} t\neq0, ela é não homogênea.

Resposta

n=2, a_{2}(t)=t^{2}, a_{1}(t)=t, a_{0}(t)=2, g(t)=\operatorname{sen} t.
A EDO é linear e não homogênea.

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