Resolva as EDO’s ou problemas de valor inicial. Classifique as equações.
y^{\prime}+t y=1+t, \quad y\left(\frac{3}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y' + t\,y = 1 + t,
com condição inicial y\bigl(\tfrac32\bigr)=1. Trata-se de uma EDO ordinária de primeira ordem, linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int t\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\tfrac{t^2}{2}\Bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(t), obtemos
e^{\tfrac{t^2}{2}}\,y' + t\,e^{\tfrac{t^2}{2}}\,y = (1+t)\,e^{\tfrac{t^2}{2}},
que equivale a
\frac{d}{dt}\Bigl(y\,e^{\tfrac{t^2}{2}}\Bigr) = (1+t)\,e^{\tfrac{t^2}{2}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
y\,e^{\tfrac{t^2}{2}} = \int (1+t)\,e^{\tfrac{t^2}{2}}\,dt + C.
Como
\int (1+t)\,e^{\tfrac{t^2}{2}}\,dt = \int e^{\tfrac{t^2}{2}}\,dt \;+\;\int t\,e^{\tfrac{t^2}{2}}\,dt = \int e^{\tfrac{t^2}{2}}\,dt \;+\; e^{\tfrac{t^2}{2}},
a solução geral fica
y(t) = 1 + e^{-\tfrac{t^2}{2}}\Bigl(C + \int^t e^{\tfrac{s^2}{2}}\,ds\Bigr).

Passo 4

Usamos a condição y\bigl(\tfrac32\bigr)=1:
1 = 1 + e^{-\tfrac{9}{8}}\Bigl(C + \int^{3/2} e^{\tfrac{s^2}{2}}\,ds\Bigr) \;\Longrightarrow\; C = -\int^{3/2} e^{\tfrac{s^2}{2}}\,ds.
Substituindo em y(t), obtemos a solução particular
y(t) = 1 + e^{-\tfrac{t^2}{2}}\int_{\tfrac{3}{2}}^{t} e^{\tfrac{s^2}{2}}\,ds.

Resposta

A equação é uma EDO ordinária de primeira ordem, linear não homogênea.
A solução do problema de valor inicial é
y(t) = 1 + e^{-\tfrac{t^2}{2}}\int_{\tfrac{3}{2}}^{t} e^{\tfrac{s^2}{2}}\,ds.

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