{ }^{1.5} Verifique que x(t)=t^{2} é solução da equação de Ricatti x^{\prime}=x^{2}+2 t-t^{4}. Determine as demais soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
x' = x^{2} + 2\,t - t^{4}
sabendo que uma solução particular é x_{p}(t)=t^{2}. O método padrão é usar essa solução para fazer a mudança
x(t)=x_{p}(t)+\frac{1}{u(t)}
de modo a reduzir a Riccati a uma equação linear de primeira ordem para u(t).

Passo 2

Verificamos que x_{p}(t)=t^{2} é solução particular. De fato,
x_{p}'(t)=2\,t,
enquanto
x_{p}^{2}(t)+2\,t - t^{4} = (t^{2})^{2} +2\,t - t^{4} = t^{4}+2\,t - t^{4} =2\,t.
Como x_{p}'(t)=2\,t e o lado direito também dá 2\,t, concluímos que x_{p}(t)=t^{2} satisfaz a equação.

Passo 3

Fazendo x(t)=t^{2}+\tfrac{1}{u(t)}, temos
x'(t)=2\,t - \frac{u'(t)}{u(t)^{2}}.
No lado direito,
x^{2}+2\,t - t^{4} =\Bigl(t^{2}+\tfrac{1}{u}\Bigr)^{2}+2\,t - t^{4} = t^{4} + \frac{2\,t^{2}}{u}+\frac{1}{u^{2}} +2\,t - t^{4} =2\,t + \frac{2\,t^{2}}{u} + \frac{1}{u^{2}}.
Igualando x' e o lado direito,
2\,t - \frac{u'}{u^{2}} =2\,t + \frac{2\,t^{2}}{u} + \frac{1}{u^{2}},
subtraindo 2\,t de ambos os lados e multiplicando por -u^{2} obtemos
u'(t) + 2\,t^{2}\,u(t) = -1.
Esta é uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 4

Para resolver
u' + 2\,t^{2}\,u = -1
calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int 2\,t^{2}\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{2}{3}\,t^{3}\Bigr).
Multiplicando toda a equação por \mu(t),
\frac{d}{dt}\Bigl(u\,e^{\tfrac{2}{3}t^{3}}\Bigr) =-\,e^{\tfrac{2}{3}t^{3}}.
Integrando em t,
u(t)\,e^{\tfrac{2}{3}t^{3}} =-\int e^{\tfrac{2}{3}s^{3}}\,ds + C,
logo
u(t) =e^{-\tfrac{2}{3}t^{3}} \Bigl(C - \int^{t} e^{\tfrac{2}{3}s^{3}}\,ds\Bigr),
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à transformação x=t^{2}+1/u, a solução geral fica
x(t) =t^{2} +\frac{1}{u(t)} =t^{2} +\frac{e^{\tfrac{2}{3}t^{3}}} {\,C - \displaystyle\int^{t}e^{\tfrac{2}{3}s^{3}}\,ds\,}.

Resposta

A solução geral da Riccati
x' = x^{2} + 2\,t - t^{4}
é
\boxed{ x(t) =t^{2} +\frac{e^{\tfrac{2}{3}t^{3}}} {\,C - \displaystyle\int^{t}e^{\tfrac{2}{3}s^{3}}\,ds\,}, }
onde C é constante arbitrária, e verifica-se que para C\to\infty retorna a solução particular x=t^{2}.

Exercícios relacionados