Verifique que
é solução da equação de Ricatti
. Determine as demais soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
. O método padrão é usar essa solução para fazer a mudança
de modo a reduzir a Riccati a uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 2
Verificamos que
é solução particular. De fato,
enquanto
Como
e o lado direito também dá
, concluímos que
satisfaz a equação.
Passo 3
Fazendo
, temos
No lado direito,
Igualando
e o lado direito,
subtraindo
de ambos os lados e multiplicando por
obtemos
Esta é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
,
Integrando em
,
logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando à transformação
, a solução geral fica
Resposta
A solução geral da Riccati
é
onde
é constante arbitrária, e verifica-se que para
retorna a solução particular
.