Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
\frac{d y}{d x}-3 y=e^{2 x}, y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}-3y = e^{2x},
com condição inicial y(0)=3. Vamos usar o método do fator integrante para resolver este PVI.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int -3\,dx} = e^{-3x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x), obtemos
e^{-3x}\frac{dy}{dx} - 3e^{-3x}y = e^{-3x}e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x}y\bigr) = e^{-x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-3x}y = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.
Isolando y,
y = -e^{2x} + C\,e^{3x}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=3:
y(0) = -e^{0} + C\,e^{0} = -1 + C = 3 \quad\Longrightarrow\quad C = 4.
Logo, a solução do PVI é
y = 4e^{3x} - e^{2x}.

Resposta

y(x) = 4e^{3x} - e^{2x}.

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