Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
\left(2 x y+x^{2} y+\frac{y^{3}}{3}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: resolver a EDO
(2 x y + x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}) + (x^{2}+y^{2})\,y' = 0
O conteúdo é identificação de uma equação diferencial na forma exata M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e uso de fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x y + x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}, \quad N(x,y) = x^{2} + y^{2},
de modo que a EDO fica
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 3

Testamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x + x^{2} + y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante \mu dependendo só de x. A condição é
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{(2x+x^{2}+y^{2}) - 2x}{x^{2}+y^{2}} = 1.
Logo \mu(x) satisfaz \mu'/\mu = 1, isto é
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 5

Multiplicamos a EDO por \mu=e^{x}. Definindo
\widetilde M = e^{x}(2x y + x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}), \quad \widetilde N = e^{x}(x^{2}+y^{2}),
a equação fica
\widetilde M\,dx + \widetilde N\,dy = 0.

Passo 6

Verificamos que agora
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = e^{x}(2x + x^{2} + y^{2}) =\frac{\partial \widetilde N}{\partial x},
logo é exata. Procuramos \Psi(x,y) tal que \partial \Psi/\partial x = \widetilde M. Integramos em x:
\Psi(x,y) = \int e^{x}(2x y + x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3})\,dx + h(y).
Separando termos e usando \int e^{x}(2x + x^{2})\,dx = e^{x}x^{2}
e \int e^{x}dx = e^{x}, obtemos
\Psi(x,y) = e^{x}\bigl(x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}\bigr) + h(y).
Como \partial \Psi/\partial y = e^{x}(x^{2}+y^{2}) + h'(y) deve igualar \widetilde N, segue h'(y)=0.

Passo 7

A solução geral implícita é
\Psi(x,y) = C \;\;\Longrightarrow\;\; e^{x}\Bigl(x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

e^{x}\Bigl(x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr) = C.

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