Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
x \cos y d y=(x+1) \sin y d x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x\cos y\,dy = (x+1)\sin y\,dx
e pede sua solução geral. Esse tipo de EDO é de variáveis separáveis, pois dá para agrupar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por \sin y e por x, obtendo
\frac{\cos y}{\sin y}\,dy = \frac{x+1}{x}\,dx
ou seja
\cot y\,dy = \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos agora cada lado:
\int \cot y\,dy = \int \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
Sabemos que
\int \cot y\,dy = \ln\bigl|\sin y\bigr| + C_1
e
\int \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = x + \ln\bigl|x\bigr| + C_2.

Passo 4

Igualando as integrais e reunindo as constantes em uma só C, temos
\ln\bigl|\sin y\bigr| = x + \ln\bigl|x\bigr| + C.
Subtraindo \ln|x| de ambos os lados:
\ln\!\frac{\bigl|\sin y\bigr|}{\bigl|x\bigr|} = x + C.
Aplicando exponencial em ambos os lados e absorvendo e^C em uma constante K:
\frac{\sin y}{x} = K e^{x}.

Passo 5

Multiplicando por x, obtemos a solução geral da EDO:
\sin y = K\,x\,e^{x},
onde K é a constante arbitrária de integração.

Resposta

\displaystyle \sin y = K\,x\,e^{x}, com K constante.

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