Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
y^{\prime}(x)+3 y(x)=x+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + 3\,y(x) = x + e^{-2x}.
O conteúdo aqui é o método do fator integrante. Vamos precisar:
  1. Calcular o fator integrante \mu(x)=e^{\int 3\,dx}.
  2. Multiplicar a EDO por \mu(x) para obter um lado esquerdo que seja a derivada de \mu(x)\,y(x).
  3. Integrar ambos os lados e, por fim, isolar y(x).

Passo 2

Calculemos o fator integrante:
\mu(x) = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Multiplicando a EDO original por e^{3x} obtemos
e^{3x}y'(x) + 3\,e^{3x}y(x) = \bigl(x + e^{-2x}\bigr)e^{3x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{3x}y(x), ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y(x)\bigr) = x\,e^{3x} + e^{x}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y(x) = \int \bigl(x\,e^{3x} + e^{x}\bigr)\,dx.
Separemos em duas integrais:
\int x\,e^{3x}\,dx \quad\text{e}\quad \int e^{x}\,dx.
Usando integração por partes em \int x\,e^{3x}\,dx (com u=x, dv=e^{3x}dx) dá
\int x\,e^{3x}\,dx = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{1}{3}\int e^{3x}\,dx = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}.
E
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
e^{3x}y(x) = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y(x) dividindo por e^{3x}:
y(x) = \frac{1}{e^{3x}}\Bigl(\frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x} + C\Bigr) = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C\,e^{-3x}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C\,e^{-3x},}
que é a solução geral da EDO.

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