Resolva as EDO’s e os PVI’s:
3 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
3y''+y'-y=0
e pede que a resolvamos. Não foram dadas condições iniciais, então o objetivo é encontrar a solução geral (ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias). As informações relevantes que temos são:
  • é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes;
  • ordem 2 (aparece y'');
  • coeficientes numéricos: 3, 1 e -1.

Passo 2

Método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Vou explicar por que funciona: ao substituir y=e^{r x} obtemos derivadas fáceis:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^2 e^{r x}.
Substituindo na equação original, a exponencial e^{r x} não é zero, então ela pode ser dividida, sobrando uma equação algébrica para r, chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em 3y''+y'-y=0 obtemos
3 r^2 e^{r x} + r e^{r x} - e^{r x} = 0.
Dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) vem a equação característica:
3 r^2 + r - 1 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Usamos a fórmula quadrática
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde aqui a=3, b=1, c=-1. Calcule o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4\cdot 3\cdot(-1) = 1 + 12 = 13.
Como \Delta>0, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2\cdot 3} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}.
Denotando
r_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6},\qquad r_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6},
temos duas soluções fundamentais e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Como r_1\neq r_2, essas duas soluções são linearmente independentes (uma maneira simples de ver isso é calcular o wronskiano e ver que é diferente de zero), então a solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, caso fossem fornecidas.

Passo 5

Explico como proceder no caso de um problema com condições iniciais (para você saber aplicar na prova). Suponha que sejam dadas
y(0)=y_0,\qquad y'(0)=y_1.
Usando a solução geral, em x=0 temos
y(0)=C_1 + C_2 = y_0.
A derivada geral é
y'(x)=C_1 r_1 e^{r_1 x} + C_2 r_2 e^{r_2 x},
logo em x=0
y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2 = y_1.
Isso é um sistema linear para C_1,C_2. Resolvendo (subtraindo r_2 vezes a primeira equação da segunda) obtemos as fórmulas
C_1=\frac{y_1 - r_2 y_0}{r_1 - r_2},\qquad C_2=\frac{r_1 y_0 - y_1}{r_1 - r_2}.
Essas expressões fornecem C_1,C_2 em termos de y_0,y_1 e das raízes r_1,r_2. Isso mostra passo a passo como aplicar condições iniciais rapidamente na prova.

Passo 6

Para intuição, os valores numéricos aproximados das raízes são
r_1 \approx 0,4343,\qquad r_2 \approx -0,7676.
Logo a solução geral também pode ser vista como soma de uma exponencial crescente lenta e uma exponencial decrescente.

Resposta

y(x)=C_1 e^{\frac{-1+\sqrt{13}}{6}x}+C_2 e^{\frac{-1-\sqrt{13}}{6}x}

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