Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede que a resolvamos. Não foram dadas condições iniciais, então o objetivo é encontrar a solução geral (ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias). As informações relevantes que temos são:
- é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes;
- ordem
(aparece ); - coeficientes numéricos:
, e .
Passo 2
Método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Vou explicar por que funciona: ao substituir
obtemos derivadas fáceis:
Substituindo na equação original, a exponencial
não é zero, então ela pode ser dividida, sobrando uma equação algébrica para
, chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(que nunca é zero) vem a equação característica:
Esta é uma equação quadrática. Usamos a fórmula quadrática
onde aqui
,
,
. Calcule o discriminante:
Como
, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Denotando
temos duas soluções fundamentais
e
. Como
, essas duas soluções são linearmente independentes (uma maneira simples de ver isso é calcular o wronskiano e ver que é diferente de zero), então a solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, caso fossem fornecidas.
Passo 5
Explico como proceder no caso de um problema com condições iniciais (para você saber aplicar na prova). Suponha que sejam dadas
Usando a solução geral, em
temos
A derivada geral é
logo em
Isso é um sistema linear para
. Resolvendo (subtraindo
vezes a primeira equação da segunda) obtemos as fórmulas
Essas expressões fornecem
em termos de
e das raízes
. Isso mostra passo a passo como aplicar condições iniciais rapidamente na prova.
Passo 6
Para intuição, os valores numéricos aproximados das raízes são
Logo a solução geral também pode ser vista como soma de uma exponencial crescente lenta e uma exponencial decrescente.