Resolva as EDOs:
y^{\prime}=3 y-15, y(0)=y_{0}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
y' = 3y - 15,\qquad y(0)=y_{0}.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem e linear (tem a forma y' = ay + b com a e b constantes).
  • A condição inicial é y(0)=y_{0}, onde y_{0} é um número qualquer dado.

Passo 2

Vou escolher um método simples e direto: decompor a solução em solução da equação homogênea associada mais uma solução particular. Explico por que: para equações do tipo
y' = a y + b,
é muito eficiente achar primeiro a solução da homogênea y_h (onde se zera o termo independente) e depois uma solução particular y_p. Isso funciona porque a equação é linear e a soma de uma solução homogênea com uma solução particular dá a solução geral. Alternativa: fator integrante, que daria o mesmo resultado; aqui a decomposição é mais rápida.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y_h' = 3 y_h.
Isto é uma equação separável. Faço separação de variáveis:
\frac{dy_h}{y_h} = 3\,dx.
Agora integro ambos os lados:
\int \frac{dy_h}{y_h} = \int 3\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y_h| = 3x + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
y_h = C e^{3x},
onde C é uma constante arbitrária (igual a \pm e^{C_1}). Aqui C representa qualquer constante que surge da integração.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p. Como o termo não homogêneo é constante ( -15), é natural tentar uma solução particular constante y_p=A (constante em x). Substituo na equação:
y_p' = 0 = 3A - 15.
Resolvo para A:
3A - 15 = 0 \quad\Rightarrow\quad A = 5.
Portanto uma solução particular é y_p = 5. (Intuição: y=5 é o estado de equilíbrio onde a taxa de variação é zero.)

Passo 5

Construir a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{3x} + 5,
onde C é uma constante a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=y_{0} para encontrar C. Substituo x=0 na solução geral:
y(0) = C e^{0} + 5 = C + 5.
Igualando a y_{0}:
C + 5 = y_{0} \quad\Rightarrow\quad C = y_{0} - 5.

Passo 7

Substituir C na solução geral e escrever a solução final. Obtém-se
y(x) = (y_{0} - 5)\,e^{3x} + 5.

Passo 8

Verificação rápida (checando que a solução realmente satisfaz a EDO). Derivo y(x):
y'(x) = 3(y_{0}-5)\,e^{3x}.
Calculo o lado direito da ODE:
3y - 15 = 3\big((y_{0}-5)e^{3x} + 5\big) - 15 = 3(y_{0}-5)e^{3x}.
Como y' = 3(y_{0}-5)e^{3x}, a igualdade y' = 3y -15 é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita por construção.

Passo 9

Interpretação curta e incentivo: a solução mostra que y=5 é a solução estacionária (equilíbrio). Como o coeficiente do expoente é positivo ( 3), qualquer desvio inicial y_{0}\neq 5 cresce exponencialmente com x; se y_{0}=5 a solução fica constante. Tá indo bem — essa é uma equação típica e o método que usei é exatamente o que costumam pedir na prova.

Resposta

(y_{0}-5)e^{3x}+5

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