Resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de primeira ordem e linear (tem a forma
com e constantes). - A condição inicial é
, onde é um número qualquer dado.
Passo 2
Vou escolher um método simples e direto: decompor a solução em solução da equação homogênea associada mais uma solução particular. Explico por que: para equações do tipo
é muito eficiente achar primeiro a solução da homogênea
(onde se zera o termo independente) e depois uma solução particular
. Isso funciona porque a equação é linear e a soma de uma solução homogênea com uma solução particular dá a solução geral. Alternativa: fator integrante, que daria o mesmo resultado; aqui a decomposição é mais rápida.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
Isto é uma equação separável. Faço separação de variáveis:
Agora integro ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária (igual a
). Aqui
representa qualquer constante que surge da integração.
Passo 4
Procurar uma solução particular
. Como o termo não homogêneo é constante (
), é natural tentar uma solução particular constante
(constante em
). Substituo na equação:
Resolvo para
:
Portanto uma solução particular é
. (Intuição:
é o estado de equilíbrio onde a taxa de variação é zero.)
Passo 5
Construir a solução geral como soma da homogênea com a particular:
onde
é uma constante a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para encontrar
. Substituo
na solução geral:
Igualando a
:
Passo 7
Substituir
na solução geral e escrever a solução final. Obtém-se
Passo 8
Verificação rápida (checando que a solução realmente satisfaz a EDO). Derivo
:
Calculo o lado direito da ODE:
Como
, a igualdade
é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita por construção.
Passo 9
Interpretação curta e incentivo: a solução mostra que
é a solução estacionária (equilíbrio). Como o coeficiente do expoente é positivo (
), qualquer desvio inicial
cresce exponencialmente com
; se
a solução fica constante. Tá indo bem — essa é uma equação típica e o método que usei é exatamente o que costumam pedir na prova.