Segunda Questāo: Considere o campo vetorial \underline{\vec{F}}=\left(e^{y^{2}}+2 x\right) \vec{\imath}+\left(2 x y e^{y^{2}}+x\right) \vec{\jmath}.
a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta que liga o ponto ( 1,0) ao ponto (-1,0).
b) ( \mathbf{1 , 0 p t} ) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho formado pelo segmento de reta de (1,0) a (0,1) seguido do segmento de reta de (0,1) a (-1,0).
c) (1,0pt) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo do semicírculo inferior centrado em ( 0,0 ), ligando (-1,0) a ( 1,0 ), percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
\underline{\vec{F}}=\left(e^{y^{2}}+2 x\right)\vec{\imath}+\left(2 x y e^{y^{2}}+x\right)\vec{\jmath}
e pede três integrais de linha:
(a) a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0).
(b) a integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho constituído pelo segmento de (1,0) a (0,1) seguido do segmento de (0,1) a (-1,0).
(c) a integral de linha de \vec{F} ao longo do semicírculo inferior centrado em (0,0) ligando (-1,0) a (1,0), percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O campo tem primeira componente P(x,y)=e^{y^{2}}+2x e segunda componente Q(x,y)=2xy e^{y^{2}}+x.
Nos itens (b) e (c) é pedido usar o Teorema de Green e o resultado do item (a).
Não há restrição de domínio (as funções exponenciais são suaves em todo \mathbb{R}^2).
Passo 2
Vou explicar a ideia e a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo e didático).
Integral de linha para campo plano: se \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath} e \gamma é uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então a integral de linha orientada é
Explico: x'(t) e y'(t) são as taxas de variação das coordenadas; multiplicando por P e Q e somando obtemos o produto escalar \vec{F}\cdot \vec{r}'(t) que se integra ao longo do parâmetro.
Teorema de Green (versão que vamos usar): se C é uma curva fechada, simples e positivamente orientada que limita uma região D no plano, e P,Q têm derivadas contínuas em uma vizinhança de D, então
Explico: o lado esquerdo é a integral de linha ao longo da fronteira C; o lado direito é a integral dupla sobre a região D do “rotor escalar” \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y. Para usar o teorema, preciso identificar uma curva fechada adequada ou montar uma fechada usando curvas conhecidas.
Vamos calcular o “rotor” do campo, que aparece no teorema de Green:
Ou seja, o rotor é constante igual a 1 em todo o plano — isso simplifica muito porque a integral dupla sobre uma região D fica simplesmente a área de D.
Passo 3
Resolvendo o item (a) passo a passo (parametrização direta).
O segmento de reta de (1,0) até (-1,0) pode ser parametrizado por
A integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de (1,0) a (-1,0) vale -2.
Passo 5
Resolvendo o item (b) usando Green e o resultado de (a). Vou montar uma curva fechada adequada.
Denoto por \Gamma o caminho pedido em (b): é o caminho aberto formado pelos dois segmentos (1,0)\to(0,1) e (0,1)\to(-1,0). Note que \Gamma vai de (1,0) até (-1,0) passando por (0,1).
Considere a curva fechada C obtida unindo \Gamma com o segmento S que vai de (-1,0) de volta a (1,0) ao longo do eixo x. Ou seja,
C=\Gamma\\ \text{(dois lados do triângulo, sentido de }(1,0)\to(-1,0))\\\ +\\ S\\ \text{(do ponto }(-1,0)\to(1,0)).â
A curva C é a fronteira do triângulo D com vértices (1,0),(0,1),(-1,0). Essa é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário) se escolhermos \Gamma indo de (1,0) a (-1,0) pela parte superior e S indo de (-1,0) a (1,0) pela base.
pois já calculámos que \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1.
5) A área do triângulo D é base vezes altura sobre 2. A base é o segmento de (-1,0) a (1,0) de comprimento 2 e a altura até (0,1) é 1. Logo
Aqui \int_{S} é a integral sobre o segmento de (-1,0) até (1,0). Observe que no item (a) calculámos a integral no segmento de (1,0) até (-1,0) e obtivemos -2. Assim, a integral do segmento na direção inversa (de (-1,0) para (1,0)) é o oposto:
A integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho (1,0)\to(0,1)\to(-1,0) vale -1.
Passo 7
Resolvendo o item (c) usando Green e o resultado de (a).
Denoto por C_{\text{inf}} o semicírculo inferior centrado em (0,0) que liga (-1,0) a (1,0) no sentido anti-horário. Esse é exatamente o arco inferior do círculo de raio 1.
Considero a curva fechada C formada por C_{\text{inf}} seguido pelo segmento S de (1,0) para (-1,0) ao longo do eixo x. Observe a orientação: C_{\text{inf}} vai de (-1,0) a (1,0) pelo semicírculo inferior (anti-horário), e então S retorna de (1,0) a (-1,0) pela base; assim C é a fronteira positivamente orientada (anti-horária) da meia-disca inferior.