Segunda Questāo: Considere o campo vetorial \underline{\vec{F}}=\left(e^{y^{2}}+2 x\right) \vec{\imath}+\left(2 x y e^{y^{2}}+x\right) \vec{\jmath}.
a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta que liga o ponto ( 1,0 ) ao ponto (-1,0).
b) ( \mathbf{1 , 0 p t} ) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho formado pelo segmento de reta de (1,0) a (0,1) seguido do segmento de reta de (0,1) a (-1,0).
c) (1,0pt) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo do semicírculo inferior centrado em ( 0,0 ), ligando (-1,0) a ( 1,0 ), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\underline{\vec{F}}=\left(e^{y^{2}}+2 x\right)\vec{\imath}+\left(2 x y e^{y^{2}}+x\right)\vec{\jmath}
e pede três integrais de linha:
  • (a) a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0).
  • (b) a integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho constituído pelo segmento de (1,0) a (0,1) seguido do segmento de (0,1) a (-1,0).
  • (c) a integral de linha de \vec{F} ao longo do semicírculo inferior centrado em (0,0) ligando (-1,0) a (1,0), percorrido no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O campo tem primeira componente P(x,y)=e^{y^{2}}+2x e segunda componente Q(x,y)=2xy e^{y^{2}}+x.
  • Nos itens (b) e (c) é pedido usar o Teorema de Green e o resultado do item (a).
  • Não há restrição de domínio (as funções exponenciais são suaves em todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Vou explicar a ideia e a ferramenta que vamos usar (passo-a-passo e didático).
  1. Integral de linha para campo plano: se \vec{F}=P\vec{\imath}+Q\vec{\jmath} e \gamma é uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então a integral de linha orientada é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Explico: x'(t) e y'(t) são as taxas de variação das coordenadas; multiplicando por P e Q e somando obtemos o produto escalar \vec{F}\cdot \vec{r}'(t) que se integra ao longo do parâmetro.
  1. Teorema de Green (versão que vamos usar): se C é uma curva fechada, simples e positivamente orientada que limita uma região D no plano, e P,Q têm derivadas contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explico: o lado esquerdo é a integral de linha ao longo da fronteira C; o lado direito é a integral dupla sobre a região D do “rotor escalar” \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y. Para usar o teorema, preciso identificar uma curva fechada adequada ou montar uma fechada usando curvas conhecidas.
  1. Vamos calcular o “rotor” do campo, que aparece no teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy e^{y^{2}}+x\big)=2y e^{y^{2}}+1,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{y^{2}}+2x\big)=2y e^{y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1.
Ou seja, o rotor é constante igual a 1 em todo o plano — isso simplifica muito porque a integral dupla sobre uma região D fica simplesmente a área de D.

Passo 3

Resolvendo o item (a) passo a passo (parametrização direta).
  1. O segmento de reta de (1,0) até (-1,0) pode ser parametrizado por
\vec{r}(t)=(x(t),y(t))=(1-2t,\,0),\qquad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (1,0) e em t=1 temos (-1,0).
2) Derivadas: x'(t)=-2 e y'(t)=0.
3) Avaliando P e Q sobre a curva: como y(t)=0,
P(x(t),y(t))=e^{0}+2x(t)=1+2x(t),
Q(x(t),y(t))=2x(t)\cdot 0\cdot e^{0}+x(t)=x(t),
mas como y'(t)=0 o termo com Q não contribui para a integral (vai multiplicar y'(t)=0).
4) A integral é então
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt =\int_{0}^{1} (1+2x(t))\cdot(-2)\,dt.
  1. Substituo x(t)=1-2t:
1+2x(t)=1+2(1-2t)=1+2-4t=3-4t.
Logo a integral fica
\int_{0}^{1} (3-4t)(-2)\,dt=-2\int_{0}^{1}(3-4t)\,dt.
  1. Calculo a integral:
\int_{0}^{1}(3-4t)\,dt=\Big[3t-2t^{2}\Big]_{0}^{1}=3-2=1.
Portanto o valor final é
-2\cdot 1=-2.

Passo 4

Conclusão do item (a) (resumo curto, para fixar):
  • A integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de (1,0) a (-1,0) vale -2.

Passo 5

Resolvendo o item (b) usando Green e o resultado de (a). Vou montar uma curva fechada adequada.
  1. Denoto por \Gamma o caminho pedido em (b): é o caminho aberto formado pelos dois segmentos (1,0)\to(0,1) e (0,1)\to(-1,0). Note que \Gamma vai de (1,0) até (-1,0) passando por (0,1).
  2. Considere a curva fechada C obtida unindo \Gamma com o segmento S que vai de (-1,0) de volta a (1,0) ao longo do eixo x. Ou seja,
C=\Gamma\\ \text{(dois lados do triângulo, sentido de }(1,0)\to(-1,0))\\\ +\\ S\\ \text{(do ponto }(-1,0)\to(1,0)).â
  1. A curva C é a fronteira do triângulo D com vértices (1,0),(0,1),(-1,0). Essa é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário) se escolhermos \Gamma indo de (1,0) a (-1,0) pela parte superior e S indo de (-1,0) a (1,0) pela base.
  2. Pelo Teorema de Green:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}1\,dA=\text{Área}(D),Á
pois já calculámos que \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1.
5) A área do triângulo D é base vezes altura sobre 2. A base é o segmento de (-1,0) a (1,0) de comprimento 2 e a altura até (0,1) é 1. Logo
\text{Área}(D)=\frac{2\cdot 1}{2}=1.Á
  1. Agora decomponho a integral sobre C:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\Gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \int_{S} é a integral sobre o segmento de (-1,0) até (1,0). Observe que no item (a) calculámos a integral no segmento de (1,0) até (-1,0) e obtivemos -2. Assim, a integral do segmento na direção inversa (de (-1,0) para (1,0)) é o oposto:
\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\vec{F}\cdot d\vec{r}= -\int_{(1,0)}^{(-1,0)}\vec{F}\cdot d\vec{r}= -(-2)=2.
  1. Como \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\text{Área}(D)=1Á, temos
1=\int_{\Gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\underbrace{2}_{\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\vec{F}\cdot d\vec{r}}.
Portanto
\int_{\Gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=1-2=-1.

Passo 6

Conclusão do item (b) (resumo):
  • A integral de linha de \vec{F} ao longo do caminho (1,0)\to(0,1)\to(-1,0) vale -1.

Passo 7

Resolvendo o item (c) usando Green e o resultado de (a).
  1. Denoto por C_{\text{inf}} o semicírculo inferior centrado em (0,0) que liga (-1,0) a (1,0) no sentido anti-horário. Esse é exatamente o arco inferior do círculo de raio 1.
  2. Considero a curva fechada C formada por C_{\text{inf}} seguido pelo segmento S de (1,0) para (-1,0) ao longo do eixo x. Observe a orientação: C_{\text{inf}} vai de (-1,0) a (1,0) pelo semicírculo inferior (anti-horário), e então S retorna de (1,0) a (-1,0) pela base; assim C é a fronteira positivamente orientada (anti-horária) da meia-disca inferior.
  3. Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D_{\text{inf}}}1\,dA=\text{Área}(D_{\text{inf}}),Á
onde D_{\text{inf}} é o semidisco inferior de raio 1. A área de um semicírculo de raio 1 é
\text{Área}(D_{\text{inf}})=\frac{\pi\cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}.Á
  1. A integral sobre C se decompõe:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C_{\text{inf}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \int_{S} é a integral sobre o segmento de (1,0) até (-1,0), que já calculámos em (a) e vale -2.
5) Logo
\frac{\pi}{2}=\int_{C_{\text{inf}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}+(-2).
Isolando a integral sobre o semicírculo inferior:
\int_{C_{\text{inf}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{\pi}{2}+2.

Resposta

-2
-1
\dfrac{\pi}{2}+2

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