Seja o espaço vetorial da matrizes 2 x 2 munido do produto intęrno definido como \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right) e \beta uma base para este espaço, onde:
Ou seja, é exatamente o produto interno Frobenius: multiplicar termo a termo e somar. Isso facilita os cálculos: basta multiplicar as entradas correspondentes e somar as quatro contribuições.
Todos os produtos internos entre matrizes diferentes são zero.
Passo 6
Conclusão intermediária: como todos os produtos internos \langle E_{i},E_{j}\rangle com i\neq j são zero, as quatro matrizes são duas a duas ortogonais. Logo \beta é uma base ortogonal.
Passo 7
Agora calculo as normas (norma induzida pelo produto interno: \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}).
Para E_{1}: \langle E_{1},E_{1}\rangle = 1^{2}+0^{2}+0^{2}+1^{2}=2. Então \|E_{1}\|=\sqrt{2}.
Para E_{2}: \langle E_{2},E_{2}\rangle = 1^{2}+2^{2}+0^{2}+(-1)^{2}=1+4+0+1=6. Então \|E_{2}\|=\sqrt{6}.
Para E_{3}: \langle E_{3},E_{3}\rangle = 0^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}=1. Então \|E_{3}\|=1.
Para E_{4}: \langle E_{4},E_{4}\rangle = (-1)^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}=1+1+0+1=3. Então \|E_{4}\|=\sqrt{3}.
Passo 8
Normalizo cada vetor (divido pela sua norma) para obter a base ortonormal: