Resolva por eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{5}=0 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}-5 x_{3}-2 x_{4}+4 x_{5}-3 x_{6}=-1 \\\\ 5 x_{3}+10 x_{4}+15 x_{6}=5 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+8 x_{4}+4 x_{5}+18 x_{6}=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema por eliminação de Gauss–Jordan, ou seja, encontrar todas as soluções do sistema linear. As equações dadas são:
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+2x_{5}=0,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}-5x_{3}-2x_{4}+4x_{5}-3x_{6}=-1,\\[4pt] 5x_{3}+10x_{4}+15x_{6}=5,\\[4pt] 2x_{1}+6x_{2}+8x_{4}+4x_{5}+18x_{6}=6. \end{cases}
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Variáveis: }x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}.\\\ &\text{São }4\text{ equações e }6\text{ incógnitas (esperamos solução paramétrica).}\\\ &\text{Devemos usar Gauss–Jordan (eliminar até obter a forma reduzida por linhas).} \end{aligned}áãçõóçãéé]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o vetor dos termos independentes:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right]
Explicação rápida: a primeira coluna representa os coeficientes de x_{1}, a segunda de x_{2}, e assim por diante; a barra separa os coeficientes do termo independente.]

Passo 3

Começamos com o pivô na primeira linha, coluna de x_{1} (já é 1). Eliminamos x_{1} nas linhas 2 e 4 usando operações elementares:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1}.
Calculemos cada nova linha.
Para R_{2}:
\begin{array}{r} 2-2\cdot1=0,\quad 6-2\cdot3=0,\quad -5-2(-2)=-5+4=-1,\\\\ -2-2\cdot0=-2,\quad 4-2\cdot2=0,\quad -3-2\cdot0=-3,\quad -1-2\cdot0=-1. \end{array}
Para R_{4}:
\begin{array}{r} 2-2\cdot1=0,\quad 6-2\cdot3=0,\quad 0-2(-2)=4,\\\\ 8-2\cdot0=8,\quad 4-2\cdot2=0,\quad 18-2\cdot0=18,\quad 6-2\cdot0=6. \end{array}
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora queremos um pivô conveniente na coluna de x_{3}. A linha 2 tem -1 nessa coluna; vamos multiplicá-la por -1 para obter pivô 1:
R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2}.
Isso dá:
R_{2}=[0\;0\;1\;2\;0\;3\;1].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & 6 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminamos x_{3} das outras linhas usando R_{2} como pivô em x_{3}:
R_{1}\leftarrow R_{1}+2R_{2},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{2},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{2}.
Calculemos:
  • Para R_{1}: a coluna x_{3} era -2, então -2+2\cdot1=0. As demais entradas:
1,\;3,\;0,\;0+2\cdot2=4,\;2+2\cdot0=2,\;0+2\cdot3=6,\;0+2\cdot1=2.
Logo R_{1}=[1\;3\;0\;4\;2\;6\;2].
  • Para R_{3}: subtraindo 5R_{2} de R_{3} resulta em linha nula, pois R_{3}=5\cdot R_{2} originalmente:
R_{3}=[0\;0\;0\;0\;0\;0\;0].
  • Para R_{4}: R_{4}-4R_{2}:
0,\;0,\;0,\;8-4\cdot2=0,\;0-4\cdot0=0,\;18-4\cdot3=6,\;6-4\cdot1=2.
Logo R_{4}=[0\;0\;0\;0\;0\;6\;2].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 \end{array}\right]]

Passo 6

A linha 4 tem coeficiente 6 na coluna de x_{6}; vamos transformar esse valor em 1 dividindo a linha por 6:
R_{4}\leftarrow \frac{1}{6}R_{4}=[0\;0\;0\;0\;0\;1\;\tfrac{1}{3}].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]]

Passo 7

Eliminamos agora as entradas na coluna x_{6} das outras linhas usando R_{4} (pivô em x_{6}):
R_{1}\leftarrow R_{1}-6R_{4},\qquad R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{4}.
Calculemos:
  • Para R_{1}: subtraímos 6\cdot R_{4}=[0\;0\;0\;0\;0\;6\;2] de R_{1}=[1\;3\;0\;4\;2\;6\;2], obtendo
R_{1}=[1\;3\;0\;4\;2\;0\;0].
  • Para R_{2}: subtraímos 3\cdot R_{4}=[0\;0\;0\;0\;0\;3\;1] de R_{2}=[0\;0\;1\;2\;0\;3\;1], obtendo
R_{2}=[0\;0\;1\;2\;0\;0\;0].
A matriz reduzida é:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretando a matriz final (forma reduzida por linhas para os pivôs que aparecem):
  • Pivôs aparecem nas colunas x_{1} (linha 1), x_{3} (linha 2) e x_{6} (linha 4).
  • As colunas de x_{2},x_{4},x_{5} não têm pivô => são variáveis livres.
Escrevemos as equações correspondentes às linhas não nulas:
\begin{aligned} &\text{linha 1: }\;x_{1}+3x_{2}+4x_{4}+2x_{5}=0,\\[4pt] &\text{linha 2: }\;x_{3}+2x_{4}=0,\\[4pt] &\text{linha 4: }\;x_{6}=\tfrac{1}{3}. \end{aligned}
Agora parametrize as variáveis livres. Seja
x_{2}=s,\quad x_{4}=t,\quad x_{5}=u,
com s,t,u\in\mathbb{R} (parâmetros livres). Resolva as variáveis básicas em função desses parâmetros:
\begin{aligned} &x_{3}=-2x_{4}=-2t,\\[4pt] &x_{1}=-3x_{2}-4x_{4}-2x_{5}=-3s-4t-2u,\\[4pt] &x_{6}=\tfrac{1}{3}. \end{aligned}
Esta é a solução geral do sistema.]

Resposta

x_{1}=-3s-4t-2u
x_{2}=s
x_{3}=-2t
x_{4}=t
x_{5}=u
x_{6}=\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados