Resolva a Eq. (31) obtendo v implicitamente em função de x.
Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x) / (x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial e obter de forma implícita em função de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a técnica de substituição para resolver equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observe que podemos reescrever a equação dada como:
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por para ficar mais fácil de trabalhar:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para transformar a equação. Vamos definir . Com isso, temos . Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Essa equação é separável, então podemos rearranjar os termos:

Passo 5

Vamos integrar os dois lados. Para o lado esquerdo, fazemos a integração:
Podemos fatorar o denominador:
E então, usando frações parciais:
Após resolver, encontramos que e . Então:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Substituindo :

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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