Resolva a Eq. (31) obtendo implicitamente em função de .
Considere a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial e obter de forma implícita em função de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a técnica de substituição para resolver equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Observe que podemos reescrever a equação dada como:
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por para ficar mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para transformar a equação. Vamos definir . Com isso, temos . Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:
Passo 4
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Essa equação é separável, então podemos rearranjar os termos:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados. Para o lado esquerdo, fazemos a integração:
Podemos fatorar o denominador:
E então, usando frações parciais:
Após resolver, encontramos que e . Então:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar: