Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida:
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a divisão de polinômios e frações parciais. Vamos precisar dividir o numerador pelo denominador e, se necessário, decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir
por
.
Passo 3
Para facilitar a divisão, vamos reescrever o denominador de forma mais simples:
Agora, dividimos
por
:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, a gente pode separar a integral em duas partes:
Vamos integrar cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral de
em relação a
é simples:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda integral:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos chamar o denominador de
:
Agora, vamos calcular
:
Perceba que o numerador
não coincide exatamente com
, então precisamos ajustar os termos.
Passo 7
Vamos reescrever o numerador para relacionar com
:
Ajustando, podemos expressar a fração de forma que parte dela corresponda a
.
Passo 8
Após ajustar, a integral se simplifica para:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Agora, juntando as duas partes da integral, temos:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A integral indefinida é: