Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
(p) integral x^23 x^2-12 x-12 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida:
integral x^23 x^2-12 x-12 , dx
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a divisão de polinômios e frações parciais. Vamos precisar dividir o numerador pelo denominador e, se necessário, decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando os graus são iguais, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir por .

Passo 3

Para facilitar a divisão, vamos reescrever o denominador de forma mais simples:
3x^2 - 12x - 12 = 3x^2 - 0.5x - 0.5
Agora, dividimos x^23x^2 - 0.5x - 0.5 = 13 + 0.5x + 0.53x^2 - 0.5x - 0.5 por integral x^23 x^2-12 x-12 , dx = integral ( 13 + 0.5x + 0.53x^2 - 0.5x - 0.5 ) , dx :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, a gente pode separar a integral em duas partes:
integral 13 , dx + integral 0.5x + 0.53x^2 - 0.5x - 0.5 , dx
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral de integral 13 , dx = 13x + C1 em relação a é simples:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda integral:
integral 0.5x + 0.53x^2 - 0.5x - 0.5 , dx
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos chamar o denominador de u = 3x^2 - 0.5x - 0.5 :
du = (6x - 0.5) , dx
Agora, vamos calcular :
Perceba que o numerador não coincide exatamente com , então precisamos ajustar os termos.

Passo 7

Vamos reescrever o numerador para relacionar com 0.5x + 0.5 = 112(6x - 0.5) + constante :
Ajustando, podemos expressar a fração de forma que parte dela corresponda a .

Passo 8

Após ajustar, a integral se simplifica para:
integral 0.5x + 0.53x^2 - 0.5x - 0.5 , dx = 112 ln|3x^2 - 0.5x - 0.5| + C2
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Agora, juntando as duas partes da integral, temos:
13x + 112 ln|3x^2 - 0.5x - 0.5| + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
13x + 112 ln|3x^2 - 12x - 12| + C

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