Resolva a equação de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}=x^{3} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = x^{3}y^{3}.
O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem do tipo Bernoulli, que têm a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Aqui identificamos P(x)=2/x, Q(x)=x^3 e n=3. Para resolver usamos a substituição
u = y^{1-n} = y^{-2},
que transforma a equação numa linear em u(x).

Passo 2

Dividimos a equação original por y^3 (supondo y\neq0) para isolar y^{-3}dy/dx:
y^{-3}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y^{-2} = x^3.
Como
\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) = -2\,y^{-3}\frac{dy}{dx},
temos
y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\tfrac12\,\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr).
Substituindo, a equação vira
-{\tfrac12}\,\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) + \frac{2}{x}\,y^{-2} = x^3.

Passo 3

Multiplicamos tudo por -2 para ficar na forma linear em u=y^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) - \frac{4}{x}\,y^{-2} = -2\,x^3.
Logo, definindo u(x)=y^{-2}, obtemos a equação linear
\frac{du}{dx} - \frac{4}{x}\,u = -2\,x^3.

Passo 4

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-4\ln|x|) = x^{-4}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
x^{-4}\frac{du}{dx} - \frac{4}{x}\,x^{-4}u = -2\,x^3\,x^{-4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}u\bigr) = -2\,x^{-1}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
x^{-4}u = -2\int x^{-1}\,dx = -2\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração. Voltando a u=y^{-2},
y^{-2} = x^{4}\bigl(-2\ln\lvert x\rvert + C\bigr) = x^{4}\bigl(C - 2\ln\lvert x\rvert\bigr).

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y:
y^2 = \frac{1}{x^{4}\bigl(C - 2\ln\lvert x\rvert\bigr)},
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y(x) = \pm \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{\,C - 2\ln\lvert x\rvert\,}}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{\,C - 2\ln\lvert x\rvert\,}},
com C constante arbitrária.

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