Resolva a equação diferencial linear de 2^{a} ordem não homogênea:
\ddot{x}+2 \dot{x}+x=e^{-t} .

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x}+2\dot{x}+x=e^{-t}.
O plano é primeiro achar a solução da parte homogênea via equação característica e depois uma solução particular usando coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea montamos o polinômio característico
\lambda^2+2\lambda+1=0,
que tem raiz dupla \lambda=-1. Isso dá a solução complementar
x_c(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}.

Passo 3

Agora a parte particular: como o forçamento é e^{-t} e -1 já é raiz dupla, a gente multiplica a forma-base por t^2. Então chuta
x_p(t)=A\,t^2e^{-t}.
Diferenciando:
\dot{x}_p=Ae^{-t}(2t-t^2), \quad \ddot{x}_p=Ae^{-t}(t^2-4t+2).

Passo 4

Substituindo tudo na equação original:
\ddot{x}_p+2\dot{x}_p+x_p =Ae^{-t}\bigl(t^2-4t+2+4t-2t^2+t^2\bigr) =2A\,e^{-t}.
Para bater com o lado direito e^{-t}, precisa 2A=1. Logo A=\tfrac12 e
x_p(t)=\tfrac12\,t^2e^{-t}.

Passo 5

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
x(t)=x_c(t)+x_p(t) =C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac12\,t^2e^{-t}.

Resposta

x(t)=C_1e^{-t}+C_2\,t\,e^{-t}+\tfrac12\,t^2e^{-t}.

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