Resolva o sistema linear homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=-3 x+4 y \\\ \dot{y}=-4 x+3 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} \dot{x}=-3x+4y,\\\ \dot{y}=-4x+3y, \end{cases}
que é um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, podemos reduzir a um único 𝑥(t) de segunda ordem e depois obter 𝑦(t) pela primeira equação.

Passo 2

Das duas equações, isolemos 𝑦 em função de 𝑥 e 𝑥′. Da primeira,
\dot{x}=-3x+4y \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\dot{x}+3x}{4}.

Passo 3

Agora derive em t a expressão de \dot{x}:
\ddot{x}=-3\dot{x}+4\dot{y}.
Mas de \dot{y}=-4x+3y e substituindo y=(\dot{x}+3x)/4 em \dot{y}, obtemos
\dot{y}=-4x+3\frac{\dot{x}+3x}{4} =-4x+\frac{3\dot{x}}{4}+\frac{9x}{4} =\frac{3\dot{x}}{4}-\frac{7x}{4}.
Então
\ddot{x}=-3\dot{x}+4\Bigl(\frac{3\dot{x}}{4}-\frac{7x}{4}\Bigr) =-3\dot{x}+3\dot{x}-7x =-7x,
logo chegamos à equação de segunda ordem
\ddot{x}+7x=0.

Passo 4

A equação \ddot{x}+7x=0 tem equação característica \lambda^2+7=0, cujas raízes são
\lambda=\pm i\sqrt{7}.
Assim a solução geral para x(t) é
x(t)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr).

Passo 5

Para encontrar y(t), usamos
y=\frac{\dot{x}+3x}{4}.
Como
\dot{x}=-C_{1}\sqrt{7}\,\sin(\sqrt{7}t)+C_{2}\sqrt{7}\,\cos(\sqrt{7}t),
segue
y(t) =\frac{-C_{1}\sqrt{7}\sin(\sqrt{7}t)+C_{2}\sqrt{7}\cos(\sqrt{7}t) +3\bigl[C_{1}\cos(\sqrt{7}t)+C_{2}\sin(\sqrt{7}t)\bigr]}{4}.
Organizando,
y(t) =C_{1}\Bigl(\tfrac{3}{4}\cos(\sqrt{7}t)-\tfrac{\sqrt{7}}{4}\sin(\sqrt{7}t)\Bigr) + C_{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{4}\cos(\sqrt{7}t)+\tfrac{3}{4}\sin(\sqrt{7}t)\Bigr).

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr),
y(t) =C_{1}\Bigl(\tfrac{3}{4}\cos(\sqrt{7}t)-\tfrac{\sqrt{7}}{4}\sin(\sqrt{7}t)\Bigr) + C_{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{4}\cos(\sqrt{7}t)+\tfrac{3}{4}\sin(\sqrt{7}t)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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