Resolva o sistema linear homogêneo:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
que é um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, podemos reduzir a um único 𝑥(t) de segunda ordem e depois obter 𝑦(t) pela primeira equação.
Passo 2
Das duas equações, isolemos 𝑦 em função de 𝑥 e 𝑥′. Da primeira,
Passo 3
Agora derive em t a expressão de
:
Mas de
e substituindo
em
, obtemos
Então
logo chegamos à equação de segunda ordem
Passo 4
A equação
tem equação característica
, cujas raízes são
Assim a solução geral para
é
Passo 5
Para encontrar
, usamos
Como
segue
Organizando,
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.