Calcule:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{60}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{60}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A base é o número complexo \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}.
  • O expoente é 60.
    A nossa missão é encontrar o valor numérico dessa potência complexa.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes e úteis para esse tipo de problema (aqui eu explico como funciona, devagarinho).
  • Todo número complexo z=a+ib pode ser escrito na forma polar como z=r(\cos\theta+i\sin\theta), onde r é o módulo e \theta é o argumento.
  • O módulo r é dado por r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Ele representa a distância do ponto (a,b) até a origem no plano complexo.
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor que vai da origem até (a,b) faz com o eixo real positivo; pode ser encontrado com relações trigonométricas (por exemplo \tan\theta=b/a quando a>0) ou reconhecendo valores trigonométricos conhecidos.

Passo 3

Calculemos o módulo r do número dado. Aqui a=\frac{\sqrt{3}}{2} e b=\frac{1}{2}. Então
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}.
Agora desenvolvendo:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4},\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},
portanto
r=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Interpretação: o número tem módulo 1, ou seja, está sobre o círculo unitário do plano complexo.

Passo 4

Calculemos o argumento \theta. Observamos que os componentes coincidem exatamente com os cosseno e seno de 30^\circ (ou \pi/6 radianos), porque
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Logo o número pode ser identificado como
\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
Como o módulo é 1, isso coincide com a forma polar r(\cos\theta+i\sin\theta) com r=1 e \theta=\frac{\pi}{6}.

Passo 5

Agora usamos o Teorema de De Moivre, que diz (eu explico devagar): para todo inteiro n,
\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
Esse teorema é muito útil porque transforma a potência de um número complexo (na forma trigonométrica) numa simples multiplicação do ângulo por n.

Passo 6

Aplicando De Moivre com \theta=\frac{\pi}{6} e n=60, obtemos
\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{60}=\cos\left(60\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(60\cdot\frac{\pi}{6}\right).
Calculemos o produto no argumento:
60\cdot\frac{\pi}{6}=10\pi.

Passo 7

Então a potência é
\cos(10\pi)+i\sin(10\pi).
Agora usamos periodicidade das funções trigonométricas: \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta e \sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta para todo inteiro k. Como 10\pi=2\pi\cdot 5, temos um múltiplo de 2\pi. Em particular,
\cos(10\pi)=\cos(2\pi\cdot 5)=\cos(0)=1,
\sin(10\pi)=\sin(2\pi\cdot 5)=\sin(0)=0.

Passo 8

Substituindo esses valores, concluímos que
\cos(10\pi)+i\sin(10\pi)=1+ i\cdot 0=1.
Portanto a potência pedida vale 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados