Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty<x<\infty e t>0.
\left{ \begin{array}{l}u_{t}=\frac{2}{7} u_{x x} \\u(x, 0)=e^{-\frac{x^{2}}{3}} \\u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte condição (em todo o eixo real, t>0\)): \[\begin{cases} u_{t}=\dfrac{2}{7}\,u_{x x},\\[6pt] u(x,0)=e^{-\frac{x^{2}}{3}},\\[6pt] u_{t}(x,0)=0. \end{cases}
As quantidades fornecidas são: a equação diferencial parcial (escrita acima), a condição inicial para u\] em \(t=0 que é u(x,0)=e^{-\frac{x^{2}}{3}}, e a condição inicial para a derivada temporal u_{t}(x,0)=0. O domínio é -\infty<x<\infty e t>0.]

Passo 2

Há uma ambiguidade no enunciado: para a equação do calor normalmente se fornece apenas u(x,0), enquanto para a equação da onda é natural fornecer u(x,0) e u_{t}(x,0). Como o problema deu ambas as condições iniciais, a interpretação mais coerente é que a equação pretendida é a equação da onda
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
com c^{2}=\dfrac{2}{7}. Vou, portanto, resolver a equação da onda com velocidade
c=\sqrt{\dfrac{2}{7}}.
Explico o porquê: a fórmula explícita mais simples e direta para a onda na reta inteira é a fórmula de d’Alembert, que usa exatamente as duas condições iniciais dadas.

Passo 3

A fórmula de d’Alembert para a equação da onda na reta inteira diz o seguinte. Se
u_{tt}=c^{2}u_{xx},\qquad u(x,0)=f(x),\qquad u_{t}(x,0)=g(x),
então a solução é
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+ct)+f(x-ct)\bigr)+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct} g(s)\,ds.
Aqui f é a condição inicial de deslocamento e g é a condição inicial de velocidade. No nosso caso temos f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{3}} e g(x)=0. Substituindo g\equiv 0 na fórmula obtemos a forma simplificada
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+ct)+f(x-ct)\bigr).

Passo 4

Agora substituímos f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{3}} e c=\sqrt{\dfrac{2}{7}} na expressão anterior. Assim
u(x,t)=\frac{1}{2}\left(e^{-\frac{(x+ct)^{2}}{3}}+e^{-\frac{(x-ct)^{2}}{3}}\right),
com c=\sqrt{\dfrac{2}{7}}. Explicitando c,
u(x,t)=\frac{1}{2}\left(e^{-\frac{\bigl(x+\sqrt{\frac{2}{7}}\,t\bigr)^{2}}{3}}+e^{-\frac{\bigl(x-\sqrt{\frac{2}{7}}\,t\bigr)^{2}}{3}}\right).

Passo 5

Vou mostrar por que essa expressão satisfaz as condições iniciais (isso é importante para usar na prova). Primeiro, em t=0:
u(x,0)=\frac{1}{2}\left(e^{-\frac{(x+0)^{2}}{3}}+e^{-\frac{(x-0)^{2}}{3}}\right)=\frac{1}{2}\bigl(e^{-\frac{x^{2}}{3}}+e^{-\frac{x^{2}}{3}}\bigr)=e^{-\frac{x^{2}}{3}},
logo a condição u(x,0)=e^{-x^{2}/3} é satisfeita.

Passo 6

Agora verifico u_{t}(x,0)=0. Diferenciando a solução em relação a t (usando a regra da cadeia):
u_{t}(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl(c\,f'(x+ct)-c\,f'(x-ct)\Bigr)=\frac{c}{2}\bigl(f'(x+ct)-f'(x-ct)\bigr).
Em t=0 isso dá
u_{t}(x,0)=\frac{c}{2}\bigl(f'(x)-f'(x)\bigr)=0,
portanto a condição u_{t}(x,0)=0 é também satisfeita. (Aqui f'(x) é a derivada de f; para f(x)=e^{-x^{2}/3} temos f'(x)=-\tfrac{2x}{3}e^{-x^{2}/3}, mas não precisamos do valor explícito para ver que f'(x)-f'(x)=0.)

Passo 7

Resumo e comentário final: a solução dada pela fórmula de d’Alembert com g\equiv 0 é a forma correta, simples e verifica as duas condições iniciais. Ela corresponde a dois pulsos gaussianos que se propagam em sentidos opostos com velocidade c=\sqrt{2/7} e a solução em cada ponto é a média desses dois pulsos.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}\left(\exp\!\left(-\frac{\bigl(x+\sqrt{\frac{2}{7}}\,t\bigr)^{2}}{3}\right)+\exp\!\left(-\frac{\bigl(x-\sqrt{\frac{2}{7}}\,t\bigr)^{2}}{3}\right)\right)

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