Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá a seguinte condição (em todo o eixo real,
As quantidades fornecidas são: a equação diferencial parcial (escrita acima), a condição inicial para
que é
, e a condição inicial para a derivada temporal
. O domínio é
e
.]
Passo 2
Há uma ambiguidade no enunciado: para a equação do calor normalmente se fornece apenas
, enquanto para a equação da onda é natural fornecer
e
. Como o problema deu ambas as condições iniciais, a interpretação mais coerente é que a equação pretendida é a equação da onda
com
. Vou, portanto, resolver a equação da onda com velocidade
Explico o porquê: a fórmula explícita mais simples e direta para a onda na reta inteira é a fórmula de d’Alembert, que usa exatamente as duas condições iniciais dadas.
Passo 3
A fórmula de d’Alembert para a equação da onda na reta inteira diz o seguinte. Se
então a solução é
Aqui
é a condição inicial de deslocamento e
é a condição inicial de velocidade. No nosso caso temos
e
. Substituindo
na fórmula obtemos a forma simplificada
Passo 4
Agora substituímos
e
na expressão anterior. Assim
com
. Explicitando
,
Passo 5
Vou mostrar por que essa expressão satisfaz as condições iniciais (isso é importante para usar na prova). Primeiro, em
:
logo a condição
é satisfeita.
Passo 6
Agora verifico
. Diferenciando a solução em relação a
(usando a regra da cadeia):
Em
isso dá
portanto a condição
é também satisfeita. (Aqui
é a derivada de
; para
temos
, mas não precisamos do valor explícito para ver que
.)
Passo 7
Resumo e comentário final: a solução dada pela fórmula de d’Alembert com
é a forma correta, simples e verifica as duas condições iniciais. Ela corresponde a dois pulsos gaussianos que se propagam em sentidos opostos com velocidade
e a solução em cada ponto é a média desses dois pulsos.