Resolva a equação do calor
k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, 00
sujeita às condições indicadas. Suponha uma haste de comprimento L.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação do calor:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, 0 < x < L, t > 0,
que descreve como a temperatura u(x, 0) = 1, & 0 < x < L2, 0, & L2 < x < L varia ao longo de uma haste de comprimento com o tempo. Precisamos resolver essa equação usando as condições de contorno e a condição inicial:
Vamos precisar usar o método de separação de variáveis e a série de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Começamos assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende apenas de k X''(x) T(t) = X(x) T'(t) :
k X''(x)X(x) = T'(t)T(t) = -lambda,
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
onde é uma constante de separação.

Passo 3

Agora temos duas equações separadas para resolver:
  1. Para k X''(x) + lambda X(x) = 0, :
T'(t) + k lambda T(t) = 0
com as condições de contorno .
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver primeiro para k X''(x) + lambda X(x) = 0 . A equação diferencial:
Xn(x) = sin( npi xL ),
com condições de contorno lambdan = ( npiL )^2 sugere que as soluções são funções senoidais. As soluções são da forma:
onde . Os valores de correspondentes são:

Passo 5

Agora resolvemos para T'(t) + k lambdan T(t) = 0 usando:
Tn(t) = e^-k lambdan t = e^-k ( npiL )^2 t
A solução dessa equação diferencial é:

Passo 6

A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções separadas para cada u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin( npi xL ) e^-k ( npiL )^2 t :

Passo 7

Para determinar os coeficientes u(x, 0) = 1, & 0 < x < L2, 0, & L2 < x < L , usamos a condição inicial Bn = 2L integral0^L u(x, 0) sin( npi xL ) dx :
Expandimos essa função em uma série de Fourier senoidal:

Passo 8

Substituímos a condição inicial na integral:
Bn = 2L [ integral0^L2 1 cdot sin( npi xL ) dx + integralL2^L 0 cdot sin( npi xL ) dx ]
Isso simplifica para:
Bn = 2L integral0^L2 sin( npi xL ) dx

Passo 9

Calculamos a integral:
Bn = 2L [ -Lnpi cos( npi xL ) ]0^L2 = 2npi ( 1 - cos( npi2 ) )

Passo 10

Portanto, os coeficientes Bn = 2npi ( 1 - cos( npi2 ) ) são:

Passo 11

Finalmente, substituímos u(x, t) = sumn=1^infty 2npi ( 1 - cos( npi2 ) ) sin( npi xL ) e^-k ( npiL )^2 t na solução geral para obter a solução da equação do calor:

Resposta

A solução da equação do calor é:
u(x, t) = sumn=1^infty 2npi ( 1 - cos( npi2 ) ) sin( npi xL ) e^-k ( npiL )^2 t

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