Resolva a equação do calor
sujeita às condições indicadas. Suponha uma haste de comprimento L.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação do calor:
que descreve como a temperatura
varia ao longo de uma haste de comprimento
com o tempo. Precisamos resolver essa equação usando as condições de contorno
e a condição inicial:
Vamos precisar usar o método de separação de variáveis e a série de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Começamos assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
onde
é uma constante de separação.
Passo 3
Agora temos duas equações separadas para resolver:
- Para
:
com as condições de contorno
.
- Para
:
Passo 4
Vamos resolver primeiro para
. A equação diferencial:
com condições de contorno
sugere que as soluções são funções senoidais. As soluções são da forma:
onde
. Os valores de
correspondentes são:
Passo 5
Agora resolvemos para
usando:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 6
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções separadas para cada
:
Passo 7
Para determinar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Expandimos essa função em uma série de Fourier senoidal:
Passo 8
Substituímos a condição inicial na integral:
Isso simplifica para:
Passo 9
Calculamos a integral:
Passo 10
Portanto, os coeficientes
são:
Passo 11
Finalmente, substituímos
na solução geral para obter a solução da equação do calor:
Resposta
A solução da equação do calor é: