Determine o limite das seguintes funções: (Durante a substituição se o resultado for uma indeterminação (00), utilize as estratégias abordadas durante as aulas de cálculo I para resolver o problema (divisão polinomial, fatoração polinomial e racionalização) (10 pontos)
a) lim h 0 raizx+2+h-raizx+2h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função . Estamos trabalhando com limites que envolvem radicais, e para resolver isso sem ficar preso na indeterminação , vamos precisar usar a técnica de racionalização. Isso vai ajudar a simplificar a expressão e encontrar o limite desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raizx+2+0-raizx+20 = raizx+2-raizx+20 = 00 diretamente na expressão para ver se encontramos uma indeterminação:
Como dá uma indeterminação , precisamos usar outra estratégia. A melhor opção aqui é racionalizar o numerador.

Passo 3

Para racionalizar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx+2+h-raizx+2h times raizx+2+h+raizx+2raizx+2+h+raizx+2 = (raizx+2+h)^2 - (raizx+2)^2h cdot (raizx+2+h+raizx+2) é . Então, fazemos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade (raizx+2+h)^2 - (raizx+2)^2 = (x + 2 + h) - (x + 2) = h :
hh cdot (raizx+2+h+raizx+2)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos simplificar o 1raizx+2+h+raizx+2 no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limh 0 1raizx+2+h+raizx+2 = 1raizx+2+0+raizx+2 = 12raizx+2 tende a 0:

Resposta

O limite é .

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