Resolva a seguinte equação diferencial ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é:
Esse tipo de equação envolve derivadas de segunda ordem e é um pouco mais complexa, mas a gente vai quebrar em partes. Para resolver, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usar alguns métodos como o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples dividindo todos os termos por
:
Agora, a gente tem uma equação linear não homogênea da forma:
onde
,
e
.
Passo 3
Vamos resolver a parte homogênea da equação primeiro, ou seja:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler. A gente assume uma solução do tipo
.
Vamos substituir na equação:
Substituindo:
Como
, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo do lado direito é uma constante (1), vamos tentar uma solução constante
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona porque o lado esquerdo depende de
e o lado direito é constante. Então, vamos tentar outra forma. Vamos tentar uma solução polinomial, por exemplo
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.