O problema pede para encontrar a solução da equação do calor no segmento [[0,100]) com condições de contorno nulas e condição inicial triangular. As informações fornecidas são:
A equação do calor (assumo a forma padrão)
u_t=\kappa\,u_{xx},\qquad x\in(0,100),\\ t>0,
onde \kappa>0 é a difusividade térmica (constante).
O objetivo: determinar u(x,t)\] para \(x\in[0,100] e t\ge0.]
Passo 2
Estratégia geral (sem entrar em detalhes ainda): buscamos a solução como uma série em autossoluções do problema linear com contornos 0 — as funções seno que satisfazem as condições de contorno. Essas autossoluções vêm da separação de variáveis: u(x,t)=X(x)T(t). Vou mostrar passo a passo como obter os autovalores, autovetores, a forma geral da solução e como calcular os coeficientes a partir da condição inicial.
Passo 3
Separação de variáveis: suponha u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na equação u_t=\kappa u_{xx} obtemos
X(x)T'(t)=\kappa X''(x)T(t).
Dividindo por \kappa X(x)T(t) (assumindo X,T\neq0) dá
Vamos calcular essa integral usando a estrutura em duas partes de f(x).
Passo 7
Explorar a simetria do f(x): note que f(100-x)=f(x) (função triangular simétrica em x=50). Para a segunda integral, fazemos a mudança y=100-x e usamos a identidade
Substitua k=\dfrac{n\pi}{100}. Então 50k=\dfrac{n\pi}{2}. Para n ímpar temos \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 e \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\pm 1, especificamente