Problema 2.8 Uma partícula de massa m no poço quadrado infinito (de largura a ) está na metade esquerda do poco e tem (em t=0 ) probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela regíāo.
(a) Qual é sua função de onda inicial, \psi(x, 0) ? (Suponha que seja real. Nāo se esqueça de nor-malizá-la.)
(b) Qual é a probabilidade de que a mediçāo de energia produza o valor \pi^{2} \hbar^{2} 2 m u^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação 1: Partícula de massa (m) confinado no poço quadrado infinito de largura (a). Impli-ca-se que a função de onda base (autofunções de energia) vive no intervalo (0<x<a) e é zero fora.
  • Informação 2: Em t=0 a partícula está “na metade esquerda do poço” e “tem probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela região” — isto significa que, em t=0, a densidade de probabilidade é uniforme em [0,a/2] e zero em (a/2,a).
  • Pedido (a): Determine a função de onda inicial \psi(x,0). A função deve ser real e normalizada.
  • Pedido (b): Qual a probabilidade de que uma medição de energia dê o valor correspondente a um nível com índice (u), isto é, o valor E_u (o enunciado apresenta a forma do E_u típica do poço: \displaystyle E_u=\frac{u^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} )?

Passo 2

Estratégia (breve): para (a) normalizamos a densidade uniforme na região dada; para (b) expandimos \psi(x,0) na base dos autofunções de energia do poço e calculamos os coeficientes de expansão c_n. A probabilidade de obter o nível u é |c_u|^{2}. Antes de calcular, vamos lembrar quais são essas autofunções e energias:
\text{Autofunções: }\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\quad n=1,2,3,\dotsçõ
\text{Autovalores de energia: }E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.
Essas \phi_n formam uma base ortonormal no intervalo (0,a), ou seja,
\int_{0}^{a}\phi_m(x)\phi_n(x)\,dx=\delta_{mn}.

Passo 3

Parte (a) — construir e normalizar \psi(x,0).
  • Como a densidade de probabilidade é uniforme em [0,a/2] e zero no resto, a função de onda deve ser constante nessa metade e zero fora. Então escrevemos
\psi(x,0)=A\quad\text{para }0<x<\frac{a}{2},\qquad \psi(x,0)=0\quad\text{para } \frac{a}{2}<x<a.
  • Normalização: exigimos \displaystyle\int_{0}^{a}|\psi(x,0)|^{2}\,dx=1. Como \psi é não nula só em [0,a/2],
\int_{0}^{a/2}A^{2}\,dx = A^{2}\frac{a}{2}=1.
  • Daí
A^{2}=\frac{2}{a}\quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
  • Conclusão (a): \psi(x,0) é a função constante normalizada na metade esquerda:
\psi(x,0)=\begin{cases}\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}, & 0<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0, & \dfrac{a}{2}<x<a.\end{cases}]

Passo 4

Parte (b) — cálculo dos coeficientes c_n.
  • Expandimos \psi em \{\phi_n\}:
\psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n \phi_n(x), \qquad c_n=\int_{0}^{a}\phi_n^{*}(x)\,\psi(x,0)\,dx.
  • Como \phi_n e \psi são reais, \phi_n^{*}=\phi_n. Substituindo a expressão de \psi (não nula só em [0,a/2]) e \phi_n,
c_n=\int_{0}^{a/2}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot\sqrt{\frac{2}{a}}\,dx =\frac{2}{a}\int_{0}^{a/2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.

Passo 5

Avaliação explícita da integral para c_n.
  • Seja \alpha=\dfrac{n\pi}{a}. Então
\int_{0}^{a/2}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx =\int_{0}^{a/2}\sin(\alpha x)\,dx =\left[-\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha}\right]_{0}^{a/2} =-\frac{1}{\alpha}\big(\cos(\alpha a/2)-\cos 0\big).
  • Substituindo \alpha e o fator \dfrac{2}{a},
c_n=\frac{2}{a}\left(-\frac{1}{\alpha}\right)\big(\cos(\alpha a/2)-1\big) =-\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{n\pi}\big(\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-1\big).
  • Simplificando:
c_n=\frac{2}{n\pi}\big(1-\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\big).

Passo 6

Obter a probabilidade |c_u|^{2} e simplificar por casos.
  • A probabilidade de medir a energia do nível u é
P_u=|c_u|^{2}=\left(\frac{2}{u\pi}\right)^{2}\big(1-\cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right)\big)^{2}.
  • Podemos simplificar avaliando \cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right) dependendo do resto de u módulo 4:
    • Se u=4k ( u múltiplo de 4), então \cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right)=\cos(2k\pi)=1. Logo 1-\cos=0 e P_u=0.
    • Se u=4k+1 ou u=4k+3 (ou seja, u ímpar), então \cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right)=0. Logo 1-\cos=1 e
    P_u=\frac{4}{u^{2}\pi^{2}}.
    • Se u=4k+2 (ou seja, u par e congruente a 2 mod 4), então \cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right)=\cos((2k+1)\pi)=-1. Logo 1-\cos=2 e
    P_u=\left(\frac{2}{u\pi}\right)^{2}\cdot 2^{2}=\frac{16}{u^{2}\pi^{2}}.
  • Resumindo em forma compacta e em forma de casos (útil na prova): a expressão geral e a redução por classes de u.

Passo 7

Comentário final e incentivo: pronto — conseguimos construir a função de onda inicial padronizada na metade esquerda e calcular exatamente a probabilidade de obter qualquer nível de energia u pela projeção nas autofunções. Se você quiser, a gente pode calcular explicitamente os primeiros P_u numéricos (por exemplo P_1,P_2,P_3,P_4) para treinar a intuição — mas por enquanto já temos a fórmula fechada que você precisa para a prova. Força aí, você está indo bem!

Resposta

\psi(x,0)=\begin{cases}\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}, & 0<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0, & \dfrac{a}{2}<x<a,\end{cases}
P_u=\left(\frac{2}{u\pi}\right)^{2}\big(1-\cos\!\left(\tfrac{u\pi}{2}\right)\big)^{2}= \begin{cases} 0, & u\equiv 0\pmod{4},\\[4pt] \dfrac{4}{u^{2}\pi^{2}}, & u\text{ ímpar }(u\equiv 1,3\pmod{4}),\\[6pt] \dfrac{16}{u^{2}\pi^{2}}, & u\equiv 2\pmod{4}. \end{cases}í]

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