Problema 2.8 Uma partícula de massa m no poço quadrado infinito (de largura a ) está na metade esquerda do poco e tem (em t=0 ) probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela regíāo.
(a) Qual é sua função de onda inicial, \psi(x, 0) ? (Suponha que seja real. Nāo se esqueça de nor-malizá-la.)
(b) Qual é a probabilidade de que a mediçāo de energia produza o valor \pi^{2} \hbar^{2} 2 m u^{2} ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informação 1: Partícula de massa (m) confinado no poço quadrado infinito de largura (a). Impli-ca-se que a função de onda base (autofunções de energia) vive no intervalo (0<x<a) e é zero fora.
Informação 2: Em t=0 a partícula está “na metade esquerda do poço” e “tem probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto daquela região” — isto significa que, em t=0, a densidade de probabilidade é uniforme em [0,a/2] e zero em (a/2,a).
Pedido (a): Determine a função de onda inicial \psi(x,0). A função deve ser real e normalizada.
Pedido (b): Qual a probabilidade de que uma medição de energia dê o valor correspondente a um nível com índice (u), isto é, o valor E_u (o enunciado apresenta a forma do E_u típica do poço: \displaystyle E_u=\frac{u^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} )?
Passo 2
Estratégia (breve): para (a) normalizamos a densidade uniforme na região dada; para (b) expandimos \psi(x,0) na base dos autofunções de energia do poço e calculamos os coeficientes de expansão c_n. A probabilidade de obter o nível u é |c_u|^{2}. Antes de calcular, vamos lembrar quais são essas autofunções e energias:
\text{Autovalores de energia: }E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}.
Essas \phi_n formam uma base ortonormal no intervalo (0,a), ou seja,
\int_{0}^{a}\phi_m(x)\phi_n(x)\,dx=\delta_{mn}.
Passo 3
Parte (a) — construir e normalizar \psi(x,0).
Como a densidade de probabilidade é uniforme em [0,a/2] e zero no resto, a função de onda deve ser constante nessa metade e zero fora. Então escrevemos
Resumindo em forma compacta e em forma de casos (útil na prova): a expressão geral e a redução por classes de u.
Passo 7
Comentário final e incentivo: pronto — conseguimos construir a função de onda inicial padronizada na metade esquerda e calcular exatamente a probabilidade de obter qualquer nível de energia u pela projeção nas autofunções. Se você quiser, a gente pode calcular explicitamente os primeiros P_u numéricos (por exemplo P_1,P_2,P_3,P_4) para treinar a intuição — mas por enquanto já temos a fórmula fechada que você precisa para a prova. Força aí, você está indo bem!