Mostre que todas as soluções do sistema
tendem a zero quando
se, e somente se,
e
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de ordem 2
e pede para provar que todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se, as duas desigualdades abaixo valem simultaneamente:
Informações relevantes fornecidas:
- A matriz do sistema é
. - Queremos condição necessária e suficiente para que todo vetor solução
satisfaça .]
Passo 2
Primeiro vamos entender por que o comportamento quando
está ligado aos autovalores da matriz. Se
é um autovalor de
então existe um vetor não nulo
tal que
. Uma solução particular do sistema é
, porque
Regra prática: se existe algum autovalor
com
, então
cresce e há soluções que não tendem a zero. Se todos os autovalores têm parte real negativa, então todas as soluções tendem a zero (mesmo no caso de blocos de Jordan, aparece um fator polinomial em
multiplicando
, e isso é dominado por
que decai quando
). Portanto o problema se reduz a caracterizar quando todos os autovalores de
têm parte real negativa.
Passo 3
Vamos escrever o polinômio característico de
. Ele é
Expandindo,
Sejam
as raízes desse polinômio (os autovalores de
). Pela relação de Viète temos as identidades
Essas duas quantidades (a soma e o produto dos autovalores) aparecem nas condições pedidas.
Passo 4
Prova da implicação “somente se” (necessidade). Suponha que todas as soluções tendem a zero quando
. Então em particular não existe solução exponencial não nula que cresça ou permaneça oscilando sem decair, logo todos os autovalores
têm
. Agora:
- A soma das partes reais é
(porque é real). Como cada , a soma é negativa. Assim necessariamente . - O produto
é igual a . Se forem conjugados complexos (caso de raízes complexas), então . Se forem reais, como cada , o produto é positivo. Em ambos os casos temos .
Portanto as duas desigualdades são necessárias.
Passo 5
Prova da implicação “se” (suficiência). Agora suponha que
Queremos mostrar
para
. Use o discriminante da equação quadrática
Defina
e
. O discriminante é
. Há dois casos:
Caso 1 — raízes reais (
). As raízes reais são
Sabemos
, logo
e
têm o mesmo sinal. Mas
, logo esse sinal comum só pode ser negativo. Portanto
e
.
Caso 2 — raízes complexas conjugadas (
). Escrevemos
com
. A soma é
, então
. Como
temos
. Assim a parte real comum das duas raízes é negativa:
.
Em ambos os casos concluímos que
e
. Como todas as partes reais dos autovalores são negativas, todas as soluções do sistema decaem para zero quando
. (Se houver multiplicidade algébrica maior que 1, isto é tratado no mesmo raciocínio: raiz dupla
implica
e o fator polinomial em
na solução é dominado por
que tende a zero.)
Passo 6
Resumo do argumento final e observações práticas de prova em prova: as duas quantidades relevantes são o traço
e o determinante
. O comportamento assintótico está totalmente controlado pelos autovalores, e para matrizes
a condição “todos os autovalores têm parte real negativa” equivale exatamente a
Isso é um caso particular do critério de estabilidade de Routh–Hurwitz para polinômios de segundo grau, que diz que para
todas as raízes têm parte real negativa se, e somente se,
e
. Aplicado aqui (com
) dá as condições acima.