Resolva a equação completando o quadrado.
4-6 x=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação por completamento do quadrado. A equação dada é:
4 - 6x = x^{2}.
O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: pôr a equação na forma padrão de uma quadrática (ter tudo em um lado e zero no outro). Para isso, somo 6x e subtraio 4 de ambos os lados:
0 = x^{2} + 6x - 4.
Agora temos a forma x^{2} + 6x - 4 = 0.

Passo 3

Breve explicação do método de completamento do quadrado (passo-a-passo):
  • Para uma expressão do tipo \,x^{2} + bx, o completamento do quadrado consiste em acrescentar \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} para formar um quadrado perfeito:
x^{2} + bx + \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^{2}.
  • Aqui b é o coeficiente do termo x. Acrescentar o mesmo número aos dois lados da equação preserva a igualdade, por isso podemos somar \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} aos dois lados quando necessário.

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação \,x^{2} + 6x - 4 = 0: o coeficiente b é 6. Calculamos
\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=9.
Somamos 9 aos dois lados da equação (ou equivalentemente adicionamos 9 ao membro esquerdo e ao direito):
x^{2} + 6x - 4 + 9 = 0 + 9.
Simplificando cada lado:
x^{2} + 6x + 5 = 9
mas é mais claro agrupar para formar o quadrado perfeito: ao somar 9 ao lado esquerdo obtemos x^{2}+6x+9 e ao lado direito 9+4 se preferirmos partir da forma original. Reescrevendo corretamente a partir da forma padrão dá:
x^{2} + 6x + 9 = 13.

Passo 5

Agora o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
\left(x + 3\right)^{2} = 13.
Explicação: \left(x+3\right)^{2} = x^{2}+6x+9, que é exatamente o que construímos.

Passo 6

Resolver \left(x+3\right)^{2}=13 tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que \sqrt{\cdot} tem dois sinais possíveis (positivo e negativo), então
x + 3 = \pm\sqrt{13}.
Isto significa que há duas soluções. Isolando x:
x = -3 \pm \sqrt{13}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para confiança): substituindo x=-3+\sqrt{13} no lado esquerdo e no direito da equação original resulta em expressões idênticas (uma vez desenvolvidas as potências), logo é solução; o mesmo vale para x=-3-\sqrt{13}. Portanto ambas as raízes são válidas.

Resposta

\displaystyle x=-3+\sqrt{13}
\displaystyle x=-3-\sqrt{13}

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