Resolva a equação completando o quadrado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação por completamento do quadrado. A equação dada é:
O objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro passo prático: pôr a equação na forma padrão de uma quadrática (ter tudo em um lado e zero no outro). Para isso, somo
e subtraio
de ambos os lados:
Agora temos a forma
.
Passo 3
Breve explicação do método de completamento do quadrado (passo-a-passo):
- Para uma expressão do tipo
, o completamento do quadrado consiste em acrescentar para formar um quadrado perfeito:
- Aqui
é o coeficiente do termo . Acrescentar o mesmo número aos dois lados da equação preserva a igualdade, por isso podemos somar aos dois lados quando necessário.
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação
: o coeficiente
é
. Calculamos
Somamos
aos dois lados da equação (ou equivalentemente adicionamos
ao membro esquerdo e ao direito):
Simplificando cada lado:
mas é mais claro agrupar para formar o quadrado perfeito: ao somar
ao lado esquerdo obtemos
e ao lado direito
se preferirmos partir da forma original. Reescrevendo corretamente a partir da forma padrão dá:
Passo 5
Agora o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
Explicação:
, que é exatamente o que construímos.
Passo 6
Resolver
tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que
tem dois sinais possíveis (positivo e negativo), então
Isto significa que há duas soluções. Isolando
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para confiança): substituindo
no lado esquerdo e no direito da equação original resulta em expressões idênticas (uma vez desenvolvidas as potências), logo é solução; o mesmo vale para
. Portanto ambas as raízes são válidas.