Resolva a equação
onde
e
são constantes não-nulas dadas.
Passo 1
Bora lá! A equação que a gente tem é
. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçante senoidal. Pra resolver, a gente vai achar a solução homogênea (sem o
) e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea: a gente elimina o forçamento e fica com
. A equação característica é
cuja solução é
Passo 3
Agora buscamos uma particular para o caso não-resonante (
). A gente supõe
Derivando e substituindo em
Assim
Passo 4
Se estivermos no caso de ressonância (
), o ansatz muda pra lidar com o termo repetido: a gente usa
Substituindo na EDO dá
Passo 5
Por fim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular, ou seja
.
Resposta
Para
:
Para
(ressonância):