Resolva a equação
ddotx+omega0^2 x=b sen omega t
onde omega0, b e omega são constantes não-nulas dadas.

Passo 1

Bora lá! A equação que a gente tem é ddotx + omega0^2 x = bsin(omega t). Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçante senoidal. Pra resolver, a gente vai achar a solução homogênea (sem o bsin(omega t)) e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea: a gente elimina o forçamento e fica com ddotx + omega0^2 x = 0. A equação característica é
r^2 + omega0^2 = 0
cuja solução é r = pm i,omega0. Então a solução homogênea é
xh(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t)

Passo 3

Agora buscamos uma particular para o caso não-resonante ( omega neq omega0). A gente supõe
xp(t) = Msin(omega t) + Ncos(omega t)
Derivando e substituindo em ddotx + omega0^2 x = bsin(omega t) e igualando coeficientes de sin(omega t) e cos(omega t), encontra-se
N = 0, M = bomega0^2 - omega^2
Assim
xp(t) = bomega0^2 - omega^2,sin(omega t)

Passo 4

Se estivermos no caso de ressonância ( omega = omega0), o ansatz muda pra lidar com o termo repetido: a gente usa
xp(t) = C,tcos(omega0 t)
Substituindo na EDO dá C = -tfracb2omega0, logo
xp(t) = -b2omega0,tcos(omega0 t)

Passo 5

Por fim, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular, ou seja x(t) = xh(t) + xp(t).

Resposta

Para omega neq omega0:
x(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t) + bomega0^2 - omega^2,sin(omega t)
Para omega = omega0 (ressonância):
x(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t) - b2omega0,tcos(omega0 t)

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