Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada x¨+2x˙+x=0. A equação característica é r²+2r+1=0, que tem raiz dupla r=−1. Logo, a solução homogênea é x_h(t)=(C₁+C₂ t)e^{−t}.
Passo 3
Em seguida usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. Como o termo forçante é cos2t, supomos x_p(t)=A
coss2t+B
sin2t. Calculamos as derivadas: x_p′=−2A
sin2t+2B
cos2t e x_p″=−4A
cos2t−4B
sin2t. Substituindo na equação original obtemos em cos2t o coeficiente −3A+4B e em sin2t o coeficiente −4A−3B, que devem igualar 1 e 0, respectivamente, formando o sistema
−3A+4B=1
−4A−3B=0
coss2t+B
sin2t. Calculamos as derivadas: x_p′=−2A
sin2t+2B
cos2t e x_p″=−4A
cos2t−4B
sin2t. Substituindo na equação original obtemos em cos2t o coeficiente −3A+4B e em sin2t o coeficiente −4A−3B, que devem igualar 1 e 0, respectivamente, formando o sistema
−3A+4B=1
−4A−3B=0
Passo 4
Resolvendo esse sistema encontramos A=−3/25 e B=4/25, portanto x_p(t)=−3/25
cos2t+4/25
sin2t.
cos2t+4/25
sin2t.
Passo 5
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular.
Resposta
x(t)=(C₁+C₂ t)e^{−t}−\frac{3}{25}\cos(2t)+\frac{4}{25}\sin(2t)