Resolva a equação de diferenças:
y[n]-0,25 y[n-1]=x[n], \quad x[n]=(0,25)^{n} u[n]
\operatorname{com} y[-1]=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferenças causais
y[n]-0,25\,y[n-1]=x[n],
com x[n]=(0,25)^{n}u[n] e condição inicial y[-1]=0.
O conteúdo é resolução de equações de diferenças lineares de primeira ordem usando a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Encontramos a solução homogênea associada à equação sem entrada, isto é
y_h[n]-0,25\,y_h[n-1]=0.
A equação característica é r-0,25=0, logo r=0,25.
Logo
y_h[n]=C\,(0,25)^n.

Passo 3

Buscamos uma solução particular y_p[n] para a entrada x[n]=(0,25)^n. Como a raiz 0,25 coincide com a da homogênea, usamos o palpite
y_p[n]=A\,n\,(0,25)^n.
Substituindo em
y_p[n]-0,25\,y_p[n-1]=A\,n\,(0,25)^n-0,25\,A\,(n-1)\,(0,25)^{n-1} =A\,(0,25)^n,
que deve ser igual a (0,25)^n. Daí A=1. Então
y_p[n]=n\,(0,25)^n.

Passo 4

A solução geral é
y[n]=y_h[n]+y_p[n]=(C+n)\,(0,25)^n.
Usamos a condição inicial y[-1]=0:
y[-1]=(C-1)\,(0,25)^{-1}=(C-1)\,4=0 \quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto, para n\ge0,
y[n]=(n+1)\,(0,25)^n.

Resposta

y[n]=(n+1)\,(0,25)^n\,u[n].

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