Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Temos:
Vamos mover o segundo termo para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão no expoente da função exponencial. Observamos que:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Vamos dividir ambos os lados por $ e^{-y} $:
Simplificando as exponenciais:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Multiplicamos ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y(x) $:
A integral do lado esquerdo é simples:
Passo 7
A integral de $ e{x2} $ não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos deixar a solução implícita:
Onde $ erfi(x) $ é a função erro imaginária.
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Quando $ x = 0 $, $ y = 1 $:
Sabemos que $ erfi(0) = 0 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou, isolando $ y $: