Resolva a equação diferencial abaixo:
le^-y y^prime-e^x(x-y / x) y^-2=0 y(0)=1

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado é:
e^-y y' - e^x(x - yx) y^-2 = 0 y(0) = 1
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Temos:
e^-y dydx - e^x(x - yx) y^-2 = 0
Vamos mover o segundo termo para o outro lado:
e^-y dydx = e^x(x - yx) y^-2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão no expoente da função exponencial. Observamos que:
x(x - yx) = x^2 - y
Então, podemos reescrever a equação como:
e^-y dydx = e^x^2 - y y^-2

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por $ e^{-y} $:
e^-y
Simplificando as exponenciais:
dydx = e^x^2 - y y^-2 cdot e^y
Então, a equação fica:
dydx = e^x^2 y^-2 + 1 = e^x^2 y^-1

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Multiplicamos ambos os lados por $ y $ e $ dx $:
y

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y(x) $:
y(x)
A integral do lado esquerdo é simples:
integral y , dy = integral e^x^2 , dx

Passo 7

A integral de $ e{x2} $ não pode ser expressa em termos de funções elementares, mas podemos deixar a solução implícita:
e^x^2
Onde $ erfi(x) $ é a função erro imaginária.

Passo 8

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Quando $ x = 0 $, $ y = 1 $:
y(0) = 1
Sabemos que $ erfi(0) = 0 $, então:
C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y^2 = raizpi , erfi(x) + 1
Ou, isolando $ y $:
y

Exercícios relacionados