Calcule o volume do sólido
em cada um dos casos a sequir.
(e)
é a região exterior à esfera
e interior à esfera
onde
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido E que é a região entre duas esferas centradas na origem com raios r e R (0<r<R). Isso é uma casca esférica. Vamos usar coordenadas esféricas para obter o volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos ρ≥0, 0≤φ≤π, 0≤θ<2π, e x²+y²+z²=ρ². O volume é dado por integral tripla. Em particular:
Passo 3
Calculamos a integral iteradamente. Primeiro em ρ:
Passo 4
Depois em φ:
Passo 5
e em θ:
Passo 6
Multiplicando tudo: o volume vale