Calcule o volume do sólido E em cada um dos casos a sequir.
(e) E é a região exterior à esfera x^2+y^2+z^2=r^2 e interior à esfera x^2+y^2+z^2=R^2 onde 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E que é a região entre duas esferas centradas na origem com raios r e R (0<r<R). Isso é uma casca esférica. Vamos usar coordenadas esféricas para obter o volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos ρ≥0, 0≤φ≤π, 0≤θ<2π, e x²+y²+z²=ρ². O volume é dado por integral tripla. Em particular:
V=integral0^2piintegral0^piintegralr^Rρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ

Passo 3

Calculamos a integral iteradamente. Primeiro em ρ:
integralr^Rρ^2,dρ=R^3-r^33

Passo 4

Depois em φ:
integral0^pisinφ,dφ=2,

Passo 5

e em θ:
integral0^2pidθ=2pi

Passo 6

Multiplicando tudo: o volume vale
V=2pitimes2timesR^3-r^33=4π3(R^3-r^3)

Resposta

V=4pi3(R^3-r^3)

Exercícios relacionados