Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da integração.
Passo 4
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na função potencial
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.