Resolva a equação diferencial abaixo:
(3 t^2 y - 4 y^3 t) + (t^3 - 6 t^2 y^2 - 3) dy/dt = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação diferencial é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que surge da integração.

Passo 4

Para determinar , diferenciamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na função potencial :
A solução geral da equação diferencial é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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