Resolva o problema de valor incial abaixo:
d y/d t = 2 t / (y + y t^2) y(2) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que relaciona e , e precisa encontrar a função que satisfaz essa relação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis e técnicas de integração para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Podemos fatorar no denominador:
Agora, a equação fica:

Passo 3

Essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis e de lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por e :
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, fazemos a substituição , então :
Igualando as duas integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos isolar :
Podemos renomear como apenas :
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo na equação de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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