Resolva o problema de valor incial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que relaciona
e
, e precisa encontrar a função
que satisfaz essa relação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais separáveis e técnicas de integração para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Podemos fatorar
no denominador:
Agora, a equação fica:
Passo 3
Essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito, fazemos a substituição
, então
:
Igualando as duas integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos isolar
:
Podemos renomear
como apenas
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: