Resolva a equação diferencial abaixo. ( Valor: 3,0 )(0,5)
\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{7} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}} \rightarrow \text { Essa }

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' - 7y = e^{x}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de primeira ordem com incógnita y(x).
  • A equação está na forma padrão y' + p(x) y = q(x) com p(x) = -7 e q(x)=e^{x}.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é um procedimento sistemático e simples para equações lineares de primeira ordem. Outra opção seria o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular — eu mostro rapidamente os dois caminhos depois, mas começo pelo fator integrante porque ele explica bem a estrutura da solução geral.

Passo 3

Resumo do método do fator integrante: para uma equação na forma
y' + p(x)y = q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)y(x), ou seja
(\mu y)' = \mu q.
No nosso caso p(x)=-7. Então o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int -7\,dx}=e^{-7x}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{-7x}. Obtenho
e^{-7x}y' - 7e^{-7x}y = e^{-7x}e^{x} = e^{-6x}.
Verifico que a esquerda é de fato a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-7x}y\big) = e^{-7x}y' + (e^{-7x})'y = e^{-7x}y' -7e^{-7x}y,
logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-7x}y\big) = e^{-6x}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-7x}y\big)\,dx = \int e^{-6x}\,dx.
A integral do lado esquerdo dá simplesmente e^{-7x}y. A integral do lado direito é fácil: como \frac{d}{dx}e^{-6x}=-6e^{-6x}, temos
\int e^{-6x}\,dx = -\frac{1}{6}e^{-6x} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
e^{-7x}y = -\frac{1}{6}e^{-6x} + C.

Passo 6

Isolo y multiplicando por e^{7x}:
y = e^{7x}\left(-\frac{1}{6}e^{-6x} + C\right).
Simplificando os expoentes:
y = -\frac{1}{6}e^{x} + C e^{7x}.
Assim obtemos a solução geral.

Passo 7

Interpretação e comentário: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea y_h e de uma solução particular y_p. De fato:
  • A parte C e^{7x} é a solução geral da homogênea y' -7y=0.
  • A parte -\tfrac{1}{6}e^{x} é uma solução particular da equação completa.
Se quiser ver rápido pelo método dos coeficientes indeterminados: suponha y_p = A e^{x}. Então y_p' = A e^{x} e
A e^{x} - 7A e^{x} = e^{x} \quad\Rightarrow\quad A(1-7)=1 \quad\Rightarrow\quad A(-6)=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{6},
o que dá o mesmo y_p = -\tfrac{1}{6}e^{x}.

Passo 8

Verificação rápida por substituição: tome y = C e^{7x} -\tfrac{1}{6}e^{x}. Então
y' = 7C e^{7x} -\tfrac{1}{6}e^{x}.
Substituindo na equação:
y' - 7y = \big(7C e^{7x} -\tfrac{1}{6}e^{x}\big) - 7\big(C e^{7x} -\tfrac{1}{6}e^{x}\big) = -\tfrac{1}{6}e^{x} + \tfrac{7}{6}e^{x} = e^{x},
confere certinho.

Resposta

y(x)=C e^{7x}-\dfrac{1}{6}e^{x}

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