Resolva a equação diferencial abaixo.
Valor: 3,0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de primeira ordem com incógnita
. - A equação está na forma padrão
com e .
O objetivo é encontrar a solução geralque satisfaça essa equação.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é um procedimento sistemático e simples para equações lineares de primeira ordem. Outra opção seria o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular — eu mostro rapidamente os dois caminhos depois, mas começo pelo fator integrante porque ele explica bem a estrutura da solução geral.
Passo 3
Resumo do método do fator integrante: para uma equação na forma
define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
a parte esquerda se torna a derivada do produto
, ou seja
No nosso caso
. Então o fator integrante é
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Obtenho
Verifico que a esquerda é de fato a derivada do produto:
logo a equação fica
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá simplesmente
. A integral do lado direito é fácil: como
, temos
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 6
Isolo
multiplicando por
:
Simplificando os expoentes:
Assim obtemos a solução geral.
Passo 7
Interpretação e comentário: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea
e de uma solução particular
. De fato:
- A parte
é a solução geral da homogênea . - A parte
é uma solução particular da equação completa.
Se quiser ver rápido pelo método dos coeficientes indeterminados: suponha
. Então
e
o que dá o mesmo
.
Passo 8
Verificação rápida por substituição: tome
. Então
Substituindo na equação:
confere certinho.