uma massa de 3 kg é atada a uma mola de constante
. Uma força externa
age no sistema a partir de
. Encontre a equação de movimento sabendo que o meio exerce uma força de amortecimento de 4 vezes a velocidade instantânea.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Força externa:
, atuando a partir de . - Força de amortecimento: “o meio exerce uma força de amortecimento de 4 vezes a velocidade instantânea” — isto significa que a força de amortecimento vale
em módulo e atua no sentido oposto ao movimento; o coeficiente de amortecimento é, portanto, . - O que se pede: encontrar a equação de movimento (ou seja, a equação diferencial que descreve
e sua solução geral). Não foram dadas condições iniciais, então encontraremos a solução geral (transiente + regime forçado).
Passo 2
Modelo físico e montagem da equação (Newton): expliquei passo a passo.
- Escolhemos
como o deslocamento da massa (positiva para a direita). - Aplicando a segunda lei de Newton: massa
aceleração = soma das forças externas sobre a massa. Em fórmula,
- A mola obedece à lei de Hooke: a força restauradora é proporcional ao deslocamento e aponta para o sentido contrário, isto é
. - O amortecimento é proporcional à velocidade e oposto à velocidade:
, com . - A força externa é
.
Somando as três contribuições (considerando sinais) obtemos:
Colocando tudo do mesmo lado na forma padrão:
Isto é a equação diferencial linear de 2ª ordem para o sistema massa-mola-amortecimento.
Passo 3
Substituir os valores numéricos na equação padrão.
-
, , , . Assim:
Esta é a equação diferencial que descreve o movimento. Agora vamos resolver essa equação para obter a solução geral
.
Passo 4
Resolver a equação homogênea associada (transiente).
- Equação homogênea:
- Procuramos soluções da forma
. Substituindo gera a equação característica:
- Calculamos as raízes: o discriminante é
(negativo), portanto raízes complexas conjugadas:
- Quando as raízes são
, a solução homogênea é
Aqui
e
. Logo
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais (se existissem).
Passo 5
Encontrar uma solução particular (regime forçado) por coeficientes a determinar.
- A força externa é
com
constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
- Calculamos as derivadas:
- Substituindo na equação
e agrupando termos em e , obtemos:
(Explicação rápida da origem dos coeficientes:
no termo
, e similar para o termo
.)
- Igualando coeficientes de
e obtemos o sistema linear:
- Resolver o sistema: da segunda equação, .
- Substituindo na primeira:
Logo
E
- Portanto a solução particular é
Passo 6
Combinar as partes e interpretar.
- A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
- Substituindo as expressões encontradas:
- Observações físicas e didáticas: a parte com expoente negativo
é o transiente (decai com o tempo devido ao amortecimento). A parte com e é a resposta em regime forçado (steady state) com a frequência de excitação . Se fossem dadas condições iniciais, e seriam determinadas; sem elas, a expressão acima é a solução geral.