uma massa de 3 kg é atada a uma mola de constante k=8 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Uma força externa f(t)=4 \cos (8 t) \mathrm{N} age no sistema a partir de t=0. Encontre a equação de movimento sabendo que o meio exerce uma força de amortecimento de 4 vezes a velocidade instantânea.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Massa: m=3\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=8\\ \mathrm{N/m}.
  • Força externa: f(t)=4\cos(8t)\\ \mathrm{N}, atuando a partir de t=0.
  • Força de amortecimento: “o meio exerce uma força de amortecimento de 4 vezes a velocidade instantânea” — isto significa que a força de amortecimento vale 4\,\dot{x}(t) em módulo e atua no sentido oposto ao movimento; o coeficiente de amortecimento é, portanto, c=4\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • O que se pede: encontrar a equação de movimento (ou seja, a equação diferencial que descreve x(t) e sua solução geral). Não foram dadas condições iniciais, então encontraremos a solução geral (transiente + regime forçado).

Passo 2

Modelo físico e montagem da equação (Newton): expliquei passo a passo.
  • Escolhemos x(t) como o deslocamento da massa (positiva para a direita).
  • Aplicando a segunda lei de Newton: massa \times aceleração = soma das forças externas sobre a massa. Em fórmula,
m\ddot{x}(t)=\text{(força externa)}+\text{(força da mola)}+\text{(força de amortecimento)}.ççç
  • A mola obedece à lei de Hooke: a força restauradora é proporcional ao deslocamento e aponta para o sentido contrário, isto é \;F_{\text{mola}}=-k x(t).
  • O amortecimento é proporcional à velocidade e oposto à velocidade: \;F_{\text{amort}}=-c\dot{x}(t), com c=4.
  • A força externa é f(t)=4\cos(8t).
Somando as três contribuições (considerando sinais) obtemos:
m\ddot{x}(t) = -c\dot{x}(t) - k x(t) + f(t).
Colocando tudo do mesmo lado na forma padrão:
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + k x(t) = f(t).
Isto é a equação diferencial linear de 2ª ordem para o sistema massa-mola-amortecimento.

Passo 3

Substituir os valores numéricos na equação padrão.
  • m=3, c=4, k=8, f(t)=4\cos(8t). Assim:
3\ddot{x}(t) + 4\dot{x}(t) + 8 x(t) = 4\cos(8t).
Esta é a equação diferencial que descreve o movimento. Agora vamos resolver essa equação para obter a solução geral x(t).

Passo 4

Resolver a equação homogênea associada (transiente).
  • Equação homogênea:
3\ddot{x}_h + 4\dot{x}_h + 8 x_h = 0.
  • Procuramos soluções da forma x_h(t)=e^{rt}. Substituindo gera a equação característica:
3r^2+4r+8=0.
  • Calculamos as raízes: o discriminante é \Delta=4^2-4\cdot3\cdot8=16-96=-80 (negativo), portanto raízes complexas conjugadas:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-80}}{6}=\frac{-4\pm 4i\sqrt{5}}{6}=-\frac{2}{3}\pm i\frac{2\sqrt{5}}{3}.
  • Quando as raízes são \alpha\pm i\beta, a solução homogênea é
x_h(t)=e^{\alpha t}\big(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3} e \beta=\tfrac{2\sqrt{5}}{3}. Logo
x_h(t)=e^{-\tfrac{2}{3}t}\Big(A\cos\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)+B\sin\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)\Big),
onde A e B são constantes determinadas por condições iniciais (se existissem).

Passo 5

Encontrar uma solução particular (regime forçado) por coeficientes a determinar.
  • A força externa é 4\cos(8t)\). Para um forçamento senoidal, tentamos uma solução particular da forma \[x_p(t)=C\cos(8t)+D\sin(8t),
com C,D constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
  • Calculamos as derivadas:
\dot{x}_p(t) = -8C\sin(8t)+8D\cos(8t),
\ddot{x}_p(t) = -64C\cos(8t)-64D\sin(8t).
  • Substituindo na equação 3\ddot{x}+4\dot{x}+8x=4\cos(8t) e agrupando termos em \cos(8t) e \sin(8t), obtemos:
\big(-184C + 32D\big)\cos(8t) + \big(-32C -184D\big)\sin(8t)=4\cos(8t).
(Explicação rápida da origem dos coeficientes: 3(-64C)+4(8D)+8C=-192C+32D+8C=-184C+32D no termo \cos, e similar para o termo \sin.)
  • Igualando coeficientes de \cos(8t) e \sin(8t) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} -184C + 32D = 4,\\[4pt] -32C -184D = 0. \end{cases}
  • Resolver o sistema: da segunda equação, -32C = 184D\] então \(C= -\dfrac{184}{32}D=-\dfrac{23}{4}D.
  • Substituindo na primeira:
-184\Big(-\frac{23}{4}D\Big)+32D=4 \quad\Rightarrow\quad 1058D+32D=4 \quad\Rightarrow\quad 1090D=4.
Logo
D=\frac{4}{1090}=\frac{2}{545}.
E
C=-\frac{23}{4}D=-\frac{23}{4}\cdot\frac{2}{545}=-\frac{23}{1090}.
  • Portanto a solução particular é
x_p(t)=-\frac{23}{1090}\cos(8t)+\frac{2}{545}\sin(8t).]

Passo 6

Combinar as partes e interpretar.
  • A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t).
  • Substituindo as expressões encontradas:
x(t)=e^{-\tfrac{2}{3}t}\Big(A\cos\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)+B\sin\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)\Big) -\frac{23}{1090}\cos(8t)+\frac{2}{545}\sin(8t).
  • Observações físicas e didáticas: a parte com expoente negativo e^{-2t/3} é o transiente (decai com o tempo devido ao amortecimento). A parte com \cos(8t) e \sin(8t) é a resposta em regime forçado (steady state) com a frequência de excitação 8\\ \mathrm{rad/s}. Se fossem dadas condições iniciais, A e B seriam determinadas; sem elas, a expressão acima é a solução geral.

Resposta

x(t)=e^{-\tfrac{2}{3}t}\Big(A\cos\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)+B\sin\!\big(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\big)\Big) -\frac{23}{1090}\cos(8t)+\frac{2}{545}\sin(8t).

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